发布时间 : 星期五 文章2019版二轮复习数学通用版讲义：第一部分 专题十一 直线与圆 Word版含解析更新完毕开始阅读0002e21c70fe910ef12d2af90242a8956aecaa58
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3．[与圆
有关的定点问题
]已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线
x4
＋
y2
＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
11?B.??4，2?D.0，
11?A.??2，4? C.
?
?3?4??3，0? ?4?
xy
解析：选B 因为点P是直线＋＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．
42
因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在
以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．所以圆C的方程为x(x－4＋2m)＋y(y－m)＝0， ①
又x2＋y2＝1， ②
所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，
??－4x＋1＝0，令?得?2x－y＝0?
?
?1?y＝2，
1x＝，4
问
11?
所以直线AB过定点??4，2?.
[启思维]本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问题．解决直线过定点问
题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数主元的系数为0即可求得定点坐标．4．[
与
向
量
等
知
识
的
综
合
题]在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且
―→―→
BM＝2MA，则直线l的方程为____________．
解析：法一：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，与x2＋y2＝5联立，
消去x并整理得(m2＋1)y2＋2my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
―→―→
则BM＝(1－x2，－y2)，MA＝(x1－1，y1)，
y1＋y2＝－
2m，①m2＋1
4
y1y2＝－.②
m2＋1
―→―→
因为BM＝2MA，所以－y2＝2y1，③
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联立①②③，可得m2＝1，
又点A在第一象限，所以y1＞0，则m＝1，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
法二：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，即x－my－1＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝
1
.1＋m2
―→―→
又BM＝2MA，且|OM|＝1，圆x2＋y2＝5的半径r＝5，
所以r2－d2＋|OM|2－d2＝2(r2－d2－|OM|2－d2)，即3|OM|2－d2＝r2－d2，
1
所以9?1－1＋m2?＝5－
??
1
，解得m2＝1，1＋m2
又点A在第一象限，所以m＝1，
故直线l的方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
[启思维]本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求法．直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题
得到解决．
[增分集训]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△
B．[4,8]
ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] C．[2，32]
D．[22，32]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝2，
|2＋2|
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝22，
2
可得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.
由已知条件可得|AB|＝22，
1
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
2
1
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
2综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
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2．(2017·考
江苏
―→PA
·
高―→PB
)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若
≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
―→―→
解析：设P(x，y)，则PA·PB＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，
所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
?y＝2x＋5，?
由???x2＋y2＝50，
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，可得－52≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－52，1]．
答案：[－52，1]
3．已知直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C两点，其中A(－1,0)，B，D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是_______
12tan α
解析：因为直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，所以tan α＝，所以直线l2的斜率k＝tan 2α＝21－tan2α
1
2×244＝＝，所以直线l2的方程为y－0＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0.
1331－4
_．
又A(－1,0)在圆M上，所以(－1)2－2＋F＝0，解得F＝1，所以圆M的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心M(－1,1)，半径r＝1.
所以圆心M到直线l2的距离d＝错误!＝错误!，所以错误!|AC|＝ 错误!＝错误!，
48
即|AC|＝2×＝.
55
因为B，D
两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积可以看成
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是△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD垂直平分AC(即BD为直径)时，两三角形的面积之和最大，1
即四边形ABCD的面积最大，此时AC，BD相交于点E，则四边形ABCD的最大面积S＝×|AC|×|BE|＋
2
11188×|AC|×|DE|＝×|AC|×|BD|＝××2＝.22255
答案：
[专题跟踪检测](对应配套卷P191)
一、全练保分考法——保大分
1．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
B．2x＋y－ 7＝0
A．2x＋y－5＝0
C．x－2y－5＝0
D．x－2y－7＝0
8
5
解析：选B ∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
1－01
＝，3－12
∵圆心与切点连线的斜率k＝
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.
2．圆心在直线x＋2y＝0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为26，则圆C的标准方
程为( )
A．(x－22)2＋(y＋2)2＝8B．(x－2)2＋(y＋22)2＝8C．(x－2)2＋(y＋2)2＝8D．(x－2)2＋(y＋2)2＝8
rr
r，－?(r>0)，半径为r.由勾股定理(6)2＋??2＝r2，解得r＝22，∴圆解析：选A 法一：设圆心为?2???2?
心为(22，－2)，∴圆C的标准方程为(x－22)2＋(y＋2)2＝8.
法二：四个圆的圆心分别为(22，－2)，(2，－22)，(2，－2)，(2，－2)，将它们逐一代入x＋
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2
2y＝0，只有A选项满足．
2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y
－1)2＝1的位置关系是( )