发布时间 : 星期日 文章解析几何中的定点和定值问题精编版更新完毕开始阅读0003ab2065ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb24
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解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、
定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A、B是抛物线y=2px (p>0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=
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?时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。 422解析： 设A（
yy,y1）,y2），B（，则 2p2p2ptan??，代入tan(???)?1
y22y B A x O 2ptan??,y1得2p(y1?y2)?y1y2?4p （1） 又设直线AB的方程为y?kx?b，则
?y?kx?b?ky2?2py?2pb?0 ?2?y?2px∴y1y2?2pb,ky1?y2?2p，代入（1）式得b?2p?2pk k∴直线AB的方程为y?2p?k(x?2p) ∴直线AB过定点（-2p,2p)
说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。
3x2y2例2．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的
2ab圆与直线x?y?2?0相切． ⑴求椭圆C的方程；
⑵设P(4,0)，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．
1
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2c3c2a2?b23222解析：⑴由题意知e??，所以e?2?，即，又因为b??1，所以a?4b?a2aa241?1x222a?4,b?1，故椭圆C的方程为C：?y2?1．
4⑵由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y?k(x?4) ① ?y?k(x?4)?联立?x2消去y得：(4k2?1)x2?32k2x?4(16k2?1)?0， 2??y?1?4由??(32k2)2?4(4k2?1)(64k2?4)?0得12k2?1?0， 又k?0不合题意，
所以直线PN的斜率的取值范围是?33． ?k?0或0?k?66y2?y1(x?x2)， x2?x1⑶设点N(x1,y1),E(x2,y2)，则M(x1,?y1)，直线ME的方程为y?y2?令y?0，得x?x2?2xx?4(x1?x2)y2(x2?x1)，将y1?k(x1?4),y2?k(x2?4)代入整理，得x?12． ②
x1?x2?8y2?y132k264k2?4由得①x1?x2?2代入②整理，得x?1， ,x1x2?4k?14k2?1所以直线ME与x轴相交于定点(1,0)．
【针对性练习1】 在直角坐标系xOy中，点M到点F1?3,0，F2???3,0的距离之和是4，点M的轨
?迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l:y?kx?b与轨迹C交于不同的两点P和Q． ⑴求轨迹C的方程；
⑵当AP?AQ?0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．
解：⑴∵点M到?3,0，3,0的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为23????x2的椭圆，其方程为?y2?1．
4yPOQx
⑵将y?kx?b，代入曲线C的方程，整理得(1?4k2)x2?82kx?4?0 ，因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，所以??64k2b2?4(1?4k2)(4b2?4)?16(4k2?b2?1)?0 ① 设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则x1?x2??82k4， ② xx?1221?4k21?4k2
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且y1?y2?(kx1?b)(kx2?b)?(k2x1x2)?kb(x1?x2)?b2，显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A??2,0?，所以AP??x1?2,y1?，AQ??x2?2,y2?．由AP?AQ?0，得(x1?2)(x2?2)?y1y2?0．
6将②、③代入上式，整理得12k2?16kb?5b2?0．所以(2k?b)?(6k?5b)?0，即b?2k或b?k．经检验，
5都符合条件①，当b?2k时，直线l的方程为y?kx?2k．显然，此时直线l经过定点??2,0?点．即直线l65?6?经过点A，与题意不符．当b?k时，直线l的方程为y?kx?k?k?x??．
56?5?6?6?显然，此时直线l经过定点??,0?点，且不过点A．综上，k与b的关系是：b?k，且直线l经过定点
5?5??6???,0?点． ?5?x2y2??1的左、右顶点为A、B，右焦点【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95为F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、
N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。
（1）设动点P满足PF?PB?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?221，求点T的坐标； 3（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
22由PF?PB?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?22229。 2故所求点P的轨迹为直线x?（2）将x1?2,x2?9。 215120分别代入椭圆方程，以及y1?0,y2?0得：M（2，）、N（，?） 33391y?0x?3直线MTA方程为：，即y?x?1， ?53?02?3355y?0x?3直线NTB 方程为：，即y?x?。 ?20162??0?393 3
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?x?7?联立方程组，解得：?10，
y??3?所以点T的坐标为(7,10)。 3（3）点T的坐标为(9,m)
y?0x?3m，即y??(x?3)，
m?09?312y?0x?3m直线NTB 方程为：，即y?(x?3)。 ?m?09?36直线MTA方程为：
x2y2??1联立方程组，同时考虑到x1??3,x2?3， 分别与椭圆953(80?m2)40m3(m2?20)20m,)N(,?)。 解得：M(、
80?m280?m220?m220?m220m3(m2?20)y?x?2220?m20?m?（方法一）当x1?x2时，直线MN方程为： 2240m20m3(80?m)3(m?20)??280?m220?m280?m20?m2 令y?0，解得：x?1。此时必过点D（1，0）；
当x1?x2时，直线MN方程为：x?1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
240?3m23m2?60?（方法二）若x1?x2，则由及m?0，得m?210， 2280?m20?m此时直线MN的方程为x?1，过点D（1，0）。
若x1?x2，则m?210，直线MD的斜率kMD40m210m80?m， ??240?3m240?m2?180?m2直线ND的斜率kND?20m210m20?m，得kMD?kND，所以直线MN过D点。 ??23m2?6040?m?120?m2因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。
【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y?kx?m?k?0?与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、
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