发布时间 : 星期日 文章解析几何中的定点和定值问题精编版更新完毕开始阅读0003ab2065ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb24
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右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则
?2c?2,???a?2, ?2b?23, 解得 ???b?3,?a2?b2?c2,?x2y2??1． …… 4分 ∴ 椭圆C的标准方程为 4322?xy?（Ⅱ）由方程组?4?3?1 消去y，得
??y?kx?m 3?4k2x2?8kmx?4m2?12?0． …… 6分 由题意△??8km??43?4k22??2?2??4m2?12??0，
整理得：3?4k?m?0 ① ………7分 设M?x1,y1?、N?x2,y2?，则
4m2?128km， x1x2? ． ……… 8分 x1?x2??223?4k3?4k由已知，AM?AN， 且椭圆的右顶点为A(2,0)， ∴
?x1?2??x2?2??y1y2?0．
…… 10分
即 1?k2x1x2??km?2??x1?x2??m2?4?0，
??4m2?12?8km?km?2??m2?4?0， 也即 ?1?k????223?4k3?4k2整理得7m?16mk?4k?0． 解得m??2k 或 m??222k，均满足① ……… 11分 7当m??2k时，直线l的方程为 y?kx?2k，过定点(2,0)，不符合题意舍去；
当m??2?2k2?时，直线l的方程为 y?k?x??，过定点(,0)，
7?77?故直线l过定点，且定点的坐标为(,0)． ………… 13分
例3、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x?4y的焦点，离心率e?
5
2272，过5……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。 （I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA?MB)?AB，求m的取值范围； （Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N
三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。
x2y2解法一： （I）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，由题意知b?1
abx2a2?b222???a?5故椭圆方程为?y2?1 25a5 （Ⅱ）由（I）得F(2,0)，所以0?m?2，设l的方程为y?k(x?2)（k?0） x2?y2?1，得(5k2?1)x2?20k2x?20k2?5?0 设A(x1,y1),B(x2,y2), 代入520k220k2?5,x1x2?则x1?x2?,?y1?y2?k(x1?x2?4),y1?y2?k(x1?x2) 225k?15k?1?MA?MB?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)?(x1?x2?2m,y1?y2),AB?(x2?x1,y2?y1)
(MA?MB)?AB,?(MA?MB)?AB?0,?(x1?x2?2m)(x2?x1)?(y2?y1)(y1?y2)?0
20k24k2m8?2?2m?2?0,?(8?5m)k2?m?0由k2??0,?0?m?， 5k?15k?18?5m58?当0?m?时，有(MA?MB)?AB成立。
55（Ⅲ）在x轴上存在定点N(,0)，使得C、B、N三点共线。依题意知C(x1,?y1)，直线BC的方
2y?y1y(x?x)yx?y2x1(x?x1)， 令y?0，则x?121?x1?12程为y?y1?2
x2?x1y2?y1y2?y1l的方程为y?k(x?2),A、B在直线l上，
k(x1?1)x2?k(x2?1)x12kx1x2?2k(x1?x2)?y1?k(x1?2),y2?k(x2?2)?x??
k(x1?x2)?4kk(x1?x2)?4k20k2?520k22k??2k?225k?15k?1?5?在x轴上存在定点N(5,0)，使得CBN三点共线。 ?20k222k2?4k5k?1解法二：（Ⅱ）由（I）得F(2,0)，所以0?m?2。设l的方程为y?k(x?2)(k?0),
x2?y2?1，得(5k2?1)x2?20k2?20k2?5?0设A(x1,y1),B(x2,y2),则 代入520k220k2?54kx1?x2?2,x1x2??y?y?k(x?x?4)??,y1?y2?k(x1?x2) 1212225k?15k?15k?1(MA?MB)?AB,?|MA|?|MB|,(x1?m)2?y1?(x2?m)2?y2,
?(x1?x2?2m)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0,(1?k2)(x1?x2)?2m?4k2?0,?(8?5m)k2?m?08k28882??)k?0,?k?0?0?m? ?m? 225k?155(5k?158 ?当0?m?时，有(MA?MB)?AB成立。
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（Ⅲ）在x轴上存在定点N(,0)，使得C、B、N三点共线。 设存在N(t,0),使得C、B、N三点共线，则CB//CN，
y?(x2?x1)y1?(t?x1)(y1?y2)?0 CB?(1x?2x,yy),CN?(?t1,x，2?11) 即(x2?x1)k(x1?2)?(t?x1)k(x1?x2?4)?0?2x1x2?(t?2)(x1?x2)?4t?0
5220k2?520k255??(t?2)?4t?0 ?2，存在?t?N(,0)，使得CBN三点共线。
5k2?15k2?122二、
定值问题
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。
例4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线。 （1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB(?,??R)，证明???为定值。
22x2y2解析：（1）设椭圆方程为2?2?1 （a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中点为N(x0,y0)，
ab?x12y12??1?y2?y1b2b2?a2b2??22，?1得到y0??2x0，两式相减及所以直线ON的方向向量为ON?(1,?2)，
xyx?xaa21?2?2?1??a2b261b222∵ ON//a，??2，即a?3b，从而得e?
33a （2）探索定值 因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则OM?OA，此时??1,??0，
??2??2?1
22证明 ∵ a?3b，?椭圆方程为x?3y?3b，又直线方程为y?x?c
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?y?x?c?4x2?6cx?3c2?3b2?0 ?222?x?3y?3b3x1?x2?c,23c2?3b232x1x2??c
48又设M（x，y），则由OM??OA??OB?x??x1??x2得?，代入椭圆方程整理得
y??y??y12?22?2(x12?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y2y2)?3b2
又∵ x1?3y1?3b，x2?3y2?3b，
222222x1x2?3y1y2?4x1x2?3c(x1?x2)?3c2??
3292c?c?3c2?0 22?2??2?1
例5、已知，椭圆C过点A(1,)，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
32（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率
为定值，并求出这个定值。
解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为
19322b?3??1b??，解得，（舍去）
41?b24b2x2y2??1。 所以椭圆方程为43x2y23??1得 （2）设直线AE方程为：y?k(x?1)?，代入4323(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
2 设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以
3234(?k)2?123y?kx??k xF?2EE223?4k，
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
34(?k)2?123y??kx??k ， xF?2EE223?4k
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