解析几何中的定点和定值问题精编版 联系客服

发布时间 : 星期日 文章解析几何中的定点和定值问题精编版更新完毕开始阅读0003ab2065ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb24

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点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。

x2y2解法一:(Ⅰ)设椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?。 …………………

abc3,∴c?3,b2?a2?c2?1。 ……………… ?a2x2∴椭圆C的方程为2?y2?1。 ……………………………………… 5分

41分

∵a?2,e?4分

?3??333?(Ⅱ)取m?0,得P?1,,直线A1P的方程是y?x?, ,Q1,?????2???632????直线A2Q的方程是y?3x?3,交点为S14,3. …………7分, 2???3??3?若P?1,?,由对称性可知交点为S24,?3. ???,Q??1,2??2??????若点S在同一条直线上,则直线只能为:x?4。…………………8分

?x22??y?1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x?4上。事实上,由?4得

?x?my?1??my?1?2?4y2?4,即m2?4y2?2my?3?0,

???2m?3。………… ,yy?1222m?4m?4yy16y1设A1P与交于点S0(4,y0),由0?,得y0?.

4?2x1?2x1?2记P?x1,y1?,Q?x2,y2?,则y1?y2?y?y22y2,得y0??.……… 10 设A2Q与交于点S0?(4,y0?),由0?4?2x2?2x2?29分

y0?y0??6y?my2?1??2y2?my1?3?4my1y2?6?y1?y2?6y12y2?1? ?x1?2x2?2?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2??12m?12m?22m?4m?4?0,……12分 ??x1?2??x2?2?∴y0?y0?,即S0与S0?重合,这说明,当m变化时,点S恒在定直线:x?4上。 13分

?3??333?AP解法二:(Ⅱ)取m?0,得P?1,,直线的方程是y?x?,直线A2Q的方程是,Q1,??1?2?????632????3x?3,交点为S14,3. ………………………………………… 7分 2111?83?取m?1,得P?,?,Q?0,?1?,直线A1P的方程是y?x?,直线A2Q的方程是y?x?1,交点为S2?4,1?.632?55?∴若交点S在同一条直线上,则直线只能为:x?4。 ……………8分 y??? 13

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?x22??y?1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x?4上。事实上,由?4得

?x?my?1??my?1?2?4y2?4,即

?m2?4?y2?2my?3?0,记

P?1x?1?,?y2,,2Q则x?2m?3。………………9分 ,yy?212m2?4m2?4y1yyyA1P的方程是y??x?2?,A2Q的方程是y?2?x?2?,消去y,得1?x?2??2?x?2?…

x1?2x2?2x1?2x2?2y1?y?

①以下用分析法证明x?4时,①式恒成立。要证明①式恒成立,只需证明

6y12y2?,即证x1?2x2?23y1?my2?13即证,2my1y2?3?y1?y2?.……………… ??y2?my1??∵

2my1y?3?y?y???6m?6m这说明,当m变化时, ??20,∴②式恒成立。1点S恒在定直线:x?4上。

m2?4m2?42?x222??y?1解法三:(Ⅱ)由?4得?my?1??4y2?4,即m2?4y2?2my?3?0。

?x?my?1???记P?x1,y1?,Q?x2,y2?,则y1?y2??2m?3。…………… ,yy?12m2?4m2?4y1yA1P的方程是y??x?2?,A2Q的方程是y?2?x?2?, ……

x1?2x2?2

6分 7分

y1?y??x?2?,?x1?2yy2?由?得1?x?2???x?2?, …………………

yx?2x?2212?y?x?2?,??x2?2?9分

即x?2y2?x1?2??y1?x2?2?y?my1?3??y1?my2?1?2my1y2?3y2?y1?22?2

y2?x1?2??y1?x2?2?y2?my1?3??y1?my2?1?3y2?y12m?2?3??2m??3?y???y112m2?4m?4???4. ………………………………

??2m?3?2?y1??y1m?4??

12分

这说明,当m变化时,点S恒在定直线:x?4上。………………

四、 其它定值问题

13分

x2y23例11、已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3,右准线方程为x?

3ab(Ⅰ)求双曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线,l与双曲线C交于不同

的两点A,B,证明?AOB的大小为定值.

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解析:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

?a23???3,解得a?1,c?3, (Ⅰ)由题意,得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2,∴所求双曲线C的方程为x?22222(Ⅱ)点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上,

22圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0?x?x0?, y0?2y2?1?x?22化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0?3x20202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②

?3x2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且0?x0?2, 2∴3x0?4?0,设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,

228?2x02x0?8则x1x2?2, ,y1y2?23x0?43x0?4∴OA?OB?x1x2?y1y2?0,∴ ?AOB的大小为90.

?x2y2例12、己知椭圆2?2?1 (a>b>0),过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、

abQ1Q2,求证:以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。

y 探索定圆:取椭圆长轴和短轴为两直径,则A2B2的方程为 P2 A1 Q2 O B1 P1 A2 x B2 Q1 xy??1,原点O到直线A2B2的距离为r?ab22aba?b22,

a2b2则与菱形A1B1A2B2内切的圆方程为x?y?2。 2a?b 15

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证明:设直径P1P2的方程为y?kx, 则Q1Q2的方程为y??1x k?2a2b2?y?kxx?2222?22(k?1)ab?2?22b?ak ?OP???xy 解得? 2222222??1kabb?ak??y2??a2b2?b2?a2k2?(k2?1)a2b2 同理OQ2=,作OH⊥P2Q2 则OH?222a?bk2

OP2?OQ2OP2?OQ22222?aba?b22

a2b2 又四边形P1Q1P2Q2是菱形,?菱形P1Q1P2Q2必外切于圆x?y?2.

a?b2例13、已知P(x0,y0)是双曲线xy?a(a?0)上的一个定点,过点P作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点(异于P点),求证:直线P1P2的方向不变。

2a2探索定值:取P(x0,),过P点且互相垂直的直线中有一条过原点,则这一条直线

x0a2a2与曲线的另一个交点P ),其斜率kPP1?1(?x0,?2x0x0?kPP2把y?y P2 xx??02 PP2的方程为y?y0??02(x?x0)

aaxaax代入解得P2(3,02) ?kP1P2?02(定值) xax0a222P O P1 x 432 证明:设PP1的斜率为k,则PP2的斜率为 -

1, k1(x?x0),与抛物xy?a2 联立解得k∴PP1的方程为y?y0?k(x?x0) PP2的方程为y?y0??2y0a2ka2a2x0P1(?,?)、 P2(ky0,),从而kP1P2?2?2(定值)

ky0ky0y0aEX:过抛物线y=2px(P>0)上一定点(x0,y0)作两条直线分别交抛物线于A,B两点,满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补,则AB的斜率为定值。 推广:抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。 五、练习

2

1、椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为

2,三角形ABM的三个顶点都在椭圆上,其中M2点为(1,1),且直线MA、MB的斜率之和为0。(1)求椭圆的方程。(2)求证:直线AB的斜率是定值。

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