发布时间 : 星期三 文章毕业论文 各类积分之间的关系更新完毕开始阅读00101534a45177232f60a29d
J??f?x?dxab.
其中,f称为被积函数,x称为积分变量, ?a,b?称为积分区间,a、b分别称为这个定积分的下限和上限. 2.2 曲线积分的概念 2.2.1 第一型曲线积分
定义4 设L为平面上可求长度的曲线段,f?x,y?为定义在L上的函数.对曲线L作分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段Li?i?1,2,?,n?,Li的弧长记为?si,分割T的细度为T?max?si,在Li上任取一点??i,?i??i?1,2,?,n?.若有极限
1?i?n[3]
lim?f??i,?i??si?J
T?0i?1n且J的值与分割T与点??i,?i?的取法无关,则称此极限为f?x,y?在L上的第一型曲线积分,记作
?f?x,y?ds.
L 若L为空间可求长曲线段, f?x,y,z?为定义在L上的函数,则可类似地定义
f?x,y,z?在空间曲线L上的第一型曲线积分,并且记作
?f?x,y,z?ds.
L2.2.2 第二型曲线积分
定义 5 设函数P?x,y?与Q?x,y?定义在平面有向可求长度曲线L:AB上.对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段
[3]
?Mi?1Mi?i?1,2,?,n?,
其中M0?A,Mn?B.记各小曲线段Mi?1Mi的弧长为?si,分割T的细度
T?max?si.
1?i?n又设T的分点Mi的坐标为?xi,yi?,并记?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1?i?1,2,?,n?,在每个小曲线段Mi?1Mi上任取一点??i,?i?,若极限
3
lim?P??i,?i??xi?lim?Q??i,?i??xi
T?0i?1T?0i?1nn存在,且与分割T与点??i,?i?的取法无关,则称此极限为函数P?x,y?,Q?x,y?沿有向曲线L上的第二型曲线积分,记为
?P?x,y?dx?Q?x,y?dy或?P?x,y?dx?Q?x,y?dy.
LAB2.3 二重积分的概念
设D为xy平面上可求面积的有界闭区域,f?x,y?为定义在D上的函数.用任意的曲线把D分成n个可求面积的小区域?1,?2,?,?n.以??i表示小区域?i的面积,这些小区域构成D的一个分割T,以di表示小区域?i的直径,称T?maxdi1?i?n为分割T的细度.在每个?i上任取一点??i,?i?,作和式
?f??,????iii?1ni.
称它为函数f?x,y?在D上属于分割T的一个积分和.
定义 6 设f?x,y?是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数. J是一个确定的数,若对任给的正数?,总存在某个正数?,使对于D的任何分割T,当它的细度
[3]
T??时,属于T的所有积分和都有
?f??,????iii?1ni?J??,
则称f?x,y?在D上可积,数J称为函数f?x,y?在D上的二重积分,记作
J???f?x,y?d?,
D其中f?x,y?称为二重积分的被积函数, x,y称为积分变量, D称为积分区域. 2.4 曲面积分的概念 2.4.1 第一型曲面积分
类似于第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块S(设密度函数?(x,y,z)在
S上连续)时,曲面块S的质量为
4
lim??(?i,?i,?i)?Si,
T?0i?1n其中T??S1,S2,?,Sn?为曲面块的分割,?Si表示小曲面块Si的面积, (?i,?i,?i)为
Si中任意一点,T为分割T的细度,即为诸Si中的最大直径.
定义7 设S是空间中可求面积的曲面, f(x,y,z)为定义在S上的函数.对曲面
S做分割T,它把S分成n个小曲面块Si(i?1,2,?,n),以?Si记小曲面块Si的面积,
[3]
分割T的细度T?max?Si的直径?,在Si上任取一点(?i,?i,?i)(i?1,2,?,n),若极
1?i?n限
lim?f(?i,?i,?i)?Si
T?0i?1n存在,且与分割T与(?i,?i,?i)(i?1,2,?,n)的取法无关,则称此极限为f(x,y,z)在
S上的第一型曲面积分,记作
2.4.2 第二型曲面积分
??f(x,y,z)dS.
S定义8 设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数,在S所指定的一侧作分割T,它把S分成n个小曲面S1,S2,?,Sn,分割T的细度T?max?Si的直径?,以
1?i?n[3]
?Siyz,?Sizx,?Sixy分别表示Si在三个坐标面上的投影区域的面积,它们的符号由Si的方向来确定.若Si的法线正向与z轴正向成锐角时, Si在xy平面的投影区域的面积?Sixy为正.反之,若Si法线正向与z轴正向成钝角时,它在xy平面的投影区域的面积?Sixy为负.在各个小曲面Si上任取一点(?i,?i,?i).若
lim?P(?i,?i,?i)?Siyz?lim?Q(?i,?i,?i)?Sizx?lim?R(?i,?i,?i)?Sixyz
T?0i?1T?0i?1T?0i?1nnn存在,且与曲面S的分割T和(?i,?i,?i)在Si上的取法无关,则称此极限为函数
P,Q,R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分,记作
5
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy
S或
??P?x,y,z?dydz???Q?x,y,z?dzdx???R?x,y,z?dxdy
SSS2.5 三重积分的概念
类似于第一型曲线积分,求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分.设密度函数为f?x,y,z?,为了求V的质量,我们把V分割成n个小区域V1,V2,?,Vn,在每个小块Vi上任取一点??i,?i,?i?,则
M?lim?f??i,?i,?i??Vi,
T?0i?1nVi的直径?. 其中?Vi为小块Vi的体积, T?max?1?i?n设f?x,y,z?是定义在三维空间可求体积的有界区域V上的有界函数.现用若干光滑曲面所组成的曲面网T来分割V,它把V分成n个小区域V1,V2,?,Vn.记ViVi的直径?,在每个Vi中任取一点??i,?i,?i?,作积的体积?Vi?i?1,2,?,n?,T?max?1?i?n分和
[3]
?f??,?,???Viiii?1ni .
定义 9 设f?x,y,z?为定义在三维空间可求体积的有界区域V上的函数, J是一个确定的数,若对任给的正数?,总存在某一正数?,使对于V的任何分割T,只要T??时,属于分割T的所有积分和都有
?f??,?,???Viiii?1ni?J??,
则称f?x,y,z?在V上可积,数J称为函数f?x,y,z?在V上的三重积分,记作
J????f?x,y,z?dV或J????f?x,y,z?dxdydz,
VV其中f?x,y,z?称为被积函数, x,y,z称为积分变量, V称为积分区域.
3.各类积分的关系
3.1 各类积分的共同属性
6