发布时间 : 星期一 文章毕业论文 各类积分之间的关系更新完毕开始阅读00101534a45177232f60a29d
设在某一区域D定义了点函数f?P?,我们定义f?P?在D上的积分: (1)将D任意分割为n个子域?k,大小为??k?k?1,2,?,n?; (2)在每一子域?k中任意取点Pk; (3)作出和数?f?Pk???k.
k?1n如果不论D怎样分割、Pk怎样取法,这和数当最大子域的直径趋于零时存在极限,这极限就称为f?P?在G上的积分.这样看来,积分概念的本质是某种微元和式的极限,而构成定义的要素是:任意分割、任意取点、求和、取极限.
“区域”G的选择正是产生各种类型积分的原因.在一维数轴上，取“区域”G为区间?a,b?,被积函数为一元函数f?x?,上述积分即为定积分;在二维平面上,“区域”G可以取一般平面区域,也可以取平面曲线,被积函数为二元函数f?x,y?,就相应地有二重积分、平面线积分;在三维空间,情形就更复杂些,G可以取空间立体空间曲线或空间曲面,就相应地有三重积分、空间线积分或面积分. 3.2 各类积分计算的一致性
各积分在计算上存在一致性,所有的多元函数积分的计算最终都转化为定积分的计算.累次积分法可将重积分化为定积分,两类曲线积分是通过基本计算公式将其直接转化为定积分，而两类曲面积分则是通过基本计算公式先将其转化为二重积分再转化为定积分的. 3.2.1 重积分化为定积分
例 1 设D是由直线x?0,y?1及y?2x围成的区域(如下图),试计算:
I???x2e?yd?的值.
D2y 解析 若用先对y后对x的积分,则
1 2I??x2dx?e?ydy.
02x11D y?2x 由于函数e此
?y2的原函数无法用初等函数形式表示,因
0 x 改用另一种顺序的累次积分,则有
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I??dy?x2e?ydx?01y202113?y2yedy. ?024由分部积分法,即可算得:
I?1?1?12?y21?1121?2?11?. ?????yde??????e?ydy2??????1???0024?2?48?e48?e?4824e?3.2.2 曲线积分化为定积分
例 2 计算?x2ds,其中L为球面x2?y2?z2?a2被平面x?y?z?0所截得的圆
L周.
解析 由变量之间的对称性知
所以
1a223222ds??a. ?xds??x?y?zds??LLL3332222xds?yds?z???ds, LLL??3.2.3 曲面积分化为定积分
例 3 计算积分:??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,
S其中S为球面?x?a???y?b???z?c??R2的外侧面.
222解析 先计算
I3???z2dxdy???z2dxdy???z2dxdy,
SS1??S2其中S1?是上半球面
z?c?R2?(x?a)2?(y?b)2,
?取上侧,S2是下半球面
z?c??R2?(x?a)2?(y?b)2,
取下侧,所以
I3???zdxdy?S2(x?a)2?(y?b)2?R2???c?R?(x?a)?(y?b)22222?dxdy
22?(x?a)2?(y?b)2?R2???c?R?(x?a)?(y?b)?dxdy
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?4c(x?a)2?(y?b)2?R2??R2?(x?a)2?(y?b)2dxdy.
作变量代换
x?a?rcos?,y?b?rsin?,
则得I3?4c?由对称性知
2?0d??R03?1R2?r2rdr?8?c??(R2?r2)2?3??8???R3c. ?30?R88 I1???x2dyd?z?R3a , I2???y2dxd?z?R3b,
33SS 因此
82223xdyd?zydxd?zzdxd?y?R(a?b?c). ??3S3.3 几个积分公式
微积分中四个重要的积分公式,即牛顿－莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式之间存在着密切的联系,并且在积分计算中,这四个公式也起着重要作用:
1.格林公式可实现二重积分和第二型曲线积分之间的转化; 2.高斯公式可实现三重积分和第二型曲面积分之间的转化;
3.斯托克斯公式可实现第二型曲线积分和第二型曲面积分之间的转化; 关于这四个公式的关系以及它们在积分计算中的应用将在下一部分给出详细介绍.
4.几个积分公式之间的关系
4.1 积分公式的介绍 4.1.1 牛顿-莱布尼兹公式
定理1 若函数f在?a,b?上连续,且存在原函数F,即F??x??f?x?,x??a,b?,则f在?a,b?上可积,且
[2]
?f?x?dx?F?b??F?a?.
abab上式称为牛顿—莱布尼兹公式,也常写成?f?x?dx?F?x?ba.
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4.1.2 格林公式
设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时,区域D总在它的左边.与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为?L. 定理 2
[3]
若函数P?x,y?,Q?x,y?在闭区域D上连续,且有连续的一阶偏导数,则有
??Q?P??????x??y??d???LPdx?Qdy,
?D?这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.上式称为格林公式. 4.1.3 高斯公式 定理 3
[3]
设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则
??P?Q?R???????x??y??z??dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy,
?V?S其中S取外侧.上式称为高斯公式. 4.1.4 斯托克斯公式 定理 4
[3]
设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在S(同
L)连续,且有一阶连续偏导数,则
??R?Q???Q?P???P?R??????dydz??dzdx??dxdy??Pdx?Qdy?Rdz, ??????y?z???L??z?x????x?y?S?其中S的侧与L的方向右手法则确定.上式称为斯托克斯公式. 4.2 牛顿-莱布尼兹公式与格林公式的关系
牛顿－莱布尼兹公式把一个函数在闭区间上的定积分与一个相关函数在该区间的“边界”(即区间端点)上函数值的增量联系起来.也就是说牛顿－莱布尼兹公式把区间I上的定积分(特殊的线积分)转化为I端点处的函数值.而格林公式把区间D上的二重积分(特殊的曲面积分)转化为D边界曲线L上的线积分,因此二
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