发布时间 : 星期六 文章《数学分析》(华师大二版)课本上的习题16更新完毕开始阅读00d3c56d4531b90d6c85ec3a87c24028905f8517
第十六章 多元函数的极限于连续P.120 §1平面点集与多元函数 1． 判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点：
（1）?a,b???c,d?; (2)?(x,y)|xy?0?; (3) ?(x,y)|xy?0?; (4) (x,y)|y??x?;
2 (5) ?(x,y)|x?2,y?2,x?y?2?; (6) ?(x,y)|xy?0?; (7) ?(x,y)|y?sin (9) (x,y)|??12?,x?0?; (8) (x,y)|x?x??1或y?0,1?x?2;
?y2?1或y?0,0?x?1;
??xy2?2? (10) (x,y)|x,y均为整数;
2.试问集合(x,y)|〈0x?a??,0?y?b??;与集合(x,y)|x?a??,y?b??;是否相同？
3．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}?E,Pn?P0.聚点。
4.证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。 5．证明：点列
nnn??????limP?Pn??n0时，P0是E的
?P(x,y)?收敛于P(x,y)的充要条件是limx?x000n??n0和
limyn??n?y
026．求下列个函数的函数值：
arctg(x?y) （1）f(x,y)?[]，求f(1?23,1?23);
arctg(x?y) （2）f(x,y)?2xyxy2?2，求f(1,y)； x （3）f(x,y)?xy2?2?xytgx，求f(tx,ty). y7.设F(x,y)=ln xln y,证明：u>0,v>0,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v); 8.求下列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集： （1）f(x,y)?xyx?y2?222 ； （2）f(x,y)?12x?3y22;
（3）f(x,y)=xy; (4)f(x,y)?1?x2??y22?1;
(5)f(x,y)?lnx?lny; (6)f(x,y)?sin( (7)f(x,y)?ln(y?x) (8)f(x,y)? (9)f(x,y,z)?xy);
22e?(x?y);
2zx?y22
?12(10)f(x,y,z)?R2?x?y2?z?21x?y?z?r2222,(R?r)
29.证明：开集与闭集具有对偶性——若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集。 10．证明：（1）若F1，F2为闭集，则 （2）若E1，E2为开集, 则
F1?F与F1?F2都为闭集；
12E1?E与E?E2都为开集；
（3）若F为闭集，E为开集，则F\\E为闭集，E\\F为开集。 11．试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之。 12．证明定理16.4（有限覆盖定理）
§2二元函数的极限
1． 试求下列极限（包括非正常极限）：
（1）
(x,y)?(0,0)limxyx?y222； （2）2(x,y)?(0,0)lim1?x?2yx?y222；
（3）
(x,y)?(0,0)limx?y1?x?y2222; （3）?1(x,y)?(0,0)limxy?1x?y44；
（5）
1； （6）lim(x?y)sin(x,y)?(0,0)(x,y)?(1,2)2x?ylimsin(x?21x?y22;
（7）
(x,y)?(0,0)limy).
x?y3232.讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限。 (1)f(x,y)?y222xy? (2)f(x,y)?(x?y)sin11sin; xy
(3)f(x,y)?xyxy?(x?y)2222 (4) f(x,y)?2xyx?y3?32
1(5)f(x,y)?ysin (6) f(x,y)?xxyx?y2323
(7) f(x,y)?ex?eysinxy
3.证明：若1o
(x,y)?(a,b)limf(x,y)存在且等于A，2oy在b的某邻域内，存在有
limf(x,y)??(y),则limlimf(x,y)?A.
x?ay?bx?a4．试应用???定义证明
(x,y)?(0,0)limxyx?y222?0。
5．叙述并证明：二元函数极限存在的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。 6．试写出下列类型极限的精确定义：
f(x,y)?A; （2） （1）(x,y)lim?(??,?)7．试求下列极限：
(x,y)?(0,?)limf(x,y)?A;
（1）
(x,y)?(??,??)limx?yx?y242 （2）4(x,y)?(??,??)lim(x?2y2)e?(x?y)
（3）
(x,y)?(??,??)lim1(1?)xyxsiny （4）
(x,y)?(??,0)lim1(1?)xxx?y
8．试作一函数f(x,y)使当x???,y???,时，
（1） 两个累次极限存在而重极限不存在； （2） 两个累次极不限存在而重极限存在； （3） 重极限和累次极限都不存在；
（4） 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在。
9．证明定理16.5及其推论3。
§3二元函数的连续性 1． 讨论下列函数的连续性：
（1）f(x,y)?tg
(xy) （2）f(x,y)?[x?y]
?22
sinxy,y?0 y(3)f(x,y)?
0
y=0
sinxyx?y22,x?2y2?0
(4) f(x,y)?
0
0 x为无理数 (5) f(x,y)?
y x为有理数
（6）f(x,y)?
yln(x?y), x?y222222?0
0
xy?2?0
x1?（7）f(x,y)? （8）f(x,y)?ey
sinxsiny2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性。 3． 设
x(x2?y2), pxy2?2?0
f(x,y)?
0
讨论它在（0，0）点处的连续性。
xy2?2?0