发布时间 : 星期日 文章高三数学一轮复习关于等差数列、等比数列性质的灵活运用更新完毕开始阅读0113f244ac51f01dc281e53a580216fc710a5343
2009届一轮复习关于等差数列、等比数列性质的灵活运用
高考要求:
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容. 重难点归纳:
1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.
2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 典型题例示范讲解:
例1已知函数f(x)=
－
1x?42.(x<－2).
(1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)设a1=1,
1an?1.=－f
－-1
(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<
m25成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力 知识依托:本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.
错解分析:本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{
1an2}为桥梁求an,不易突破.
技巧与方法:(2)问由式子
1an?1?1an2?4得
1an?12?1an2=4,构造等差数列{
1an2},从而求
得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.
解:(1)设y=
1x2?4,∵x<－2,∴x=－4?1, y2即y=f
－-1
(x)=－4?1.(x>0) 2y(2)∵
1an?1?4?1an,?21an?12?1an2?4，
∴{
1an2}是公差为4的等差数列，
∵a1=1,.
1an2=
1a12+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
14n?3.
1m25,由bn<,得m>, 4n?1254n?12525设g(n)=.,∵g(n)=.在n∈N*上是减函数，
4n?14n?1(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<
m成立. 25例2设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)
命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.
知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.
错解分析:题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值.
解法一:设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
?a1?(q2m?1)a1q?(q2m?1)??q?1 q2?1??323?(a1q)?(a1q)?9(a1q?a1q)?4q1??q?1?1?q?化简得? 解得?3.
?aq2?9(1?q),??a1?108?1设数列{lgan}前n项和为Sn,则
－…－
Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn1=lga1n·q1+2++(n1)
11n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3 22lg37=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n
2272lg2?lg32可见，当n=时，Sn最大. lg3=nlga1+
72lg2?lg34?0.3?7?0.42而=5,故{lgan}的前5项和最大. ?lg32?0.4?a1?1081n－11?解法二:接前，?,于是lga=lg［108()］=lg108+(n－1)lg, n1q?33?3?∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg
1为公差的等差数列， 3令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,
2lg2?4lg32?0.3?4?0.4?∴n≤=5.5
lg30.4由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.
例3 等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.
解法一:将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+
n(n?1)d,得: 2m(m?1)?ma?d?30???????????? ①??12 ?2m(2m?1)?2ma?d?100 ②1??2解得d?4010203m(3m?1),a??,?S?3ma?d?210 13m1mm22m23m(3m?1)(3m?1)dd?3m[a1?]知， 22(3m?1)d要求S3m只需求m［a1+］,
2m(3m?1)将②－①得ma1+.d=70,∴S3m=210.
2解法二:由S3m?3ma1?解法三:由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）
将Sm=30,S2m=100代入，得
20?A?2???Am?Bm?30?m,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 ???2??B?10?A(2m)?B?2m?100?m?解法四:
S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m =S2m+(a1+2md)+…+(am+2md) =S2m+(a1+…+am)+m·2md =S2m+Sm+2m2d
40由解法一知d=2,代入得S3m=210
m2解法五:根据等差数列性质知:Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列， 从而有:2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m) ∴S3m=3(S2m－Sm)=210 解法六:∵Sn=na1+∴
n(n?1)d, 2Snn(n?1)=a1+d n2S(x?1)d∴点(n,n)是直线y=+a1上的一串点，
2nSSS由三点(m,m),(2m,2m),(3m,.3m)共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210.
m3m2m解法七:令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
∴a3=70+(70－30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210 答案:210 学生巩固练习:
1.等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若
S1031?，则limSn等于( ) S532n??
D －2
22A. B.? 33 C 2
2.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0 _________. 3.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________. ac4.已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则?=_________ xy5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由. 6.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列 ab1,ab2,…,abn,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17. (1)求数列{bn}的通项公式； Tn. nnn??4?b7.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10. 8.{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证:当k取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…, 23n(2)记Tn=C1nb1+Cnb2+Cnb3+…+Cnbn,求lim求证:数列 111,,?,为等差数列. x1?1x2?1xn?1