发布时间 : 星期四 文章2019版高考数学理创新大一轮江苏专版文档：第五章 平面向量 第31讲 含解析 精品更新完毕开始阅读014f525e951ea76e58fafab069dc5022abea460c
πππ4→→
∴当2A＋3＝2，即A＝12时，AC·AB取最大值33＋2. 27
此时B＝3π－A＝12π，
6＋27
sin 12π4bsin B
∴此时a＝sin A＝π＝6－2＝2＋3. sin 12
4答案 2＋3
规律方法 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.
→→
【训练3】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若20aBC＋15bCA→
＋12cAB＝0，则△ABC最小角的正弦值等于________. →→→
解析 ∵20aBC＋15bCA＋12cAB＝0， →→→→
∴20a(AC－AB)＋15bCA＋12cAB＝0， →→
∴(20a－15b)AC＋(12c－20a)AB＝0， →→
∵AC与AB不共线，
4b＝a，??20a－15b＝0，?3
∴???
5?12c－20a＝0
??c＝3a，∴△ABC最小角为角A， b2＋c2－a2
∴cos A＝2bc 162252
a＋a－a2994＝＝5，
452×3a×3a3
∴sin A＝5. 3答案 5
一、必做题
→1→
1.(2018·扬州中学质检)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若AO＝3AB1→
＋3AC，则∠BAC等于________(用角度表示).
→→→→→
解析 取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2 AD.由题意得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°. 答案 60°
2.(2018·南京师大附中模拟)在平面内，若A(1，7)，B(5，1)，M(2，1)，点P是→→直线OM上的一个动点，且PA·PB＝－8，则cos∠APB＝________.
1→
解析 由题意可得直线OM的方程为y＝2x，设P(2y，y)，则PA＝(1－2y，7－y)，→→→PB＝(5－2y，1－y)，所以PA·PB＝(1－2y，7－y)·(5－2y，1－y)＝5y2－20y＋12→→
＝－8，解得y＝2，所以P(4，2)，PA＝(－3，5)，PB＝(1，－1)，所以cos∠APB→→PA·PB8417＝→→＝－＝－17.
34×2|PA|·|PB|417
答案 －17 3.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)x2＋4
＝x(x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别→→
是A，B，则MA·MB＝________.
?4???4?→?x?22?
解析 由题意可得∠AMB＝135°.设M?x，x＋x?(x>0)，则|MA|＝＝x，所以??222?→→→→2?
?－?＝－2. MA·MB＝|MA|·|MB|cos 135°＝x·x·
?2?答案 －2
4.(2018·江苏六校联考)在△ABC中，已知AB＝8，AC＝6，点O为三角形的外心，→→则BC·OA＝________.
解析 由点O为三角形的外心，可设AB，AC的中点分别为M，N，
→→→
则MO⊥AB，ON⊥AC，从而(AO－AM)·AB＝0， →→1→2?→1→?→即?AO－2AB?·AB＝0，所以AO·AB＝2AB＝32， ??→→→同理(AO－AN)·AC＝0，
→→1→2?→1→?→即?AO－2AC?·AC＝0，所以AO·AC＝2AC＝18， ??
→→→→→→→→→所以BC·OA＝(AC－AB)·OA＝AC·OA－AB·OA＝(－18)－(－32)＝14. 答案 14
→→5.(2018·江苏大联考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，3→→→→AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，若BQ·CP＝－2，则λ＝________. →→→→→→解析 因为BQ＝BA＋AQ，CP＝CA＋AP， →→→→→→所以BQ·CP＝(BA＋AQ)·(CA＋AP) →→→→→→→→＝AB·AC－AB·AP－AC·AQ＋AQ·AP
→→→→→→＝AB·AC－λ·AB2－(1－λ)·AC2＋λ(1－λ)·AB·AC ＝2×2×cos 60°－4λ－4(1－λ)＋λ(1－λ)×2×2×cos 60° 3＝－2λ2＋2λ－2＝－2， 1
解得λ＝2. 1答案 2
6.(2017·泰州中学第二次质量检测)已知△ABC中，BC＝2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为________.
→
解析 以BC为x轴的正半轴，BC的中点为坐标原点建立直角坐标系，则B(－1，0)，C(1，0)，
?xy?设A(x，y)，由G为△ABC的重心，得G?3，3?，
??2y?→?x＋3y?→?2x
所以AG＝?－3，－3?，BG＝?，3?， ???3?
2y??x＋3y?→→?2x
??＝0， 由AG⊥BG，得AG·BG＝?－3，－3?·???3，3??3?229
所以x＋3x＋y＝0，即?x＋2?＋y＝4，
??
2
2
3
所以|y|≤2，
13
故S△ABC＝2BC·h＝|y|≤2(h为BC边上的高)， 3所以△ABC的面积的最大值为2. 3答案 2
7.(2017·南京、盐城二模)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，27→→
且BD＝2DC，AD＝3，则AC的长为________.
27→→→→→→→1→2→
解析 由BD＝2DC得AD－AB＝2(AC－AD)?AD＝3AB＋3AC，又AD＝3，所→→→→?1→2→?228
以?3AB＋3AC?＝9，即AB2＋4AB·AC＋4AC2＝28，因为△ABC中，∠BAC＝120°，??→→→→
AB＝4，所以16－8|AC|＋4|AC|2＝28，从而|AC|＝3(|AC|＝－1舍去). 答案 3
α·β
8.(2018·苏北四市调研)对任意两个非零向量α，β，定义α°β＝β·
β.若平面向量a，
?n?π????中，n∈Z|0，??b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈4?，且a°b和b°a都在集合?2??
则a°b＝________.
k1a·b|a|
解析 设a°b＝b·＝cos θ＝
b|b|2， |b|k2则b°a＝|a|cos θ＝2，两式相乘，可得
π?k1k2?
cos2θ＝4，因为θ∈?0，4?，所以k1，k2都是正整数，
??12