发布时间 : 星期日 文章2019版高考数学理创新大一轮江苏专版文档：第五章 平面向量 第31讲 含解析 精品更新完毕开始阅读014f525e951ea76e58fafab069dc5022abea460c
3答案 2
9.(2017·南京高三第三次模拟)已知向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，α∈π??
?0，2?. ??
?2?
(1)若a－b＝?5，0?，求t的值；
??
π??
(2)若t＝1，且a·b＝1，求tan?2α＋4?的值.
??
解 (1)因为向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)， 1?2?
且a－b＝?5，0?，所以cos α－sin α＝5，t＝sin2α.
??11
由cos α－sin α＝5得(cos α－sin α)2＝25， 124
即1－2sin αcos α＝25，从而2sin αcos α＝25. 49
所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝25. π?7?0，??因为α∈，所以cos α＋sin α＝5. ?2?所以sin α＝
2
（cos α＋sin α）－（cos α－sin α）3
＝5，
2
9
从而t＝sinα＝25. (2)因为t＝1，且a·b＝1，
所以4sin αcos α＋sin2α＝1，即4sin αcos α＝cos2α. π?1?
因为α∈?0，2?，所以cos α≠0，从而tan α＝4. ??所以tan 2α＝
2tan α8
2＝. 1－tanα15
π8tan 2α＋tan 415＋1π?23?
所以tan?2α＋4?＝＝＝
π87. ??
1－tan 2α·tan 41－15
xx???2x?10.(2018·南通调研)已知向量m＝?3sin 4，1?，n＝?cos 4，cos4?.
????
?2π?
(1)若m·n＝1，求cos?3－x?的值；
??
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求f(A)的取值范围. xxx
解 m·n＝3sin 4cos 4＋cos24 3x1x1?xπ?1＝2sin 2＋2×cos 2＋2＝sin?2＋6?＋2.
???xπ?1
(1)∵m·n＝1，∴sin?2＋6?＝2，
???π??xπ?1
cos?x＋3?＝1－2sin2?2＋6?＝2， ????1?2π??π?
cos?3－x?＝－cos?x＋3?＝－2. ????
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin(B＋C).
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0， 1π2π∴cos B＝2，B＝3.∴0＜A＜3. πAππ1?Aπ?∴6＜2＋6＜2，2＜sin?2＋6?＜1.
???xπ?1
又∵f(x)＝m·n＝sin?2＋6?＋2，
??3?Aπ?1＋??∴f(A)＝sin26＋2，故1＜f(A)＜2. ??3??
故f(A)的取值范围是?1，2?.
??二、选做题
→→→→→→
11.(2018·江苏押题卷)在平面内，AB·AC＝BA·BC＝CA·CB＝6，动点P，M满足 →→→→
|AP|＝2，PM＝MC，则|BM|2的最大值是________. 解析 由已知易得△ABC是等边三角形且边长为 23，
→→→
设O是△ABC的中心，则|OA|＝|OB|＝|OC|＝2. 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则A(2，0)，B(－1，－3)，C(－1，3).设P(x，y)，
→
由已知|AP|＝2，得(x－2)2＋y2＝4， →→∵PM＝MC，
?x－1y＋3?→?x＋1y＋33?
?，∴BM＝??， ∴M?，，2?2??2?2
22
→2（x＋1）＋（y＋33）22∴|BM|＝，它表示圆(x－2)＋y＝4上的点P(x，y)与点
4
1
B′(－1，－33)的距离的平方的4，
→
∵|PB′|max＝（2＋1）2＋（33）2＋2＝9＋27＋2＝8， 82→2
∴(|BM|)max＝4＝16. 答案 16
3π︵
12.(2018·苏州期中)如图，半径为1，圆心角为2的圆弧AB上有一点C.
︵→→
(1)当C为圆弧AB的中点时，D为线段OA上任一点，求|OC＋OD|的最小值； ︵→→
(2)当C在圆弧AB上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求CE·DE的取值范围.
→
解 以O为原点，以OA为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
(1)设D(t，0)(0≤t≤1)， C???－22
，2?2??，
所以OC→＋OD→＝???－22＋t，2?
2??，
所以|OC→＋OD→
|2＝1t＋t2＋12－22 ＝t2
－2t＋1＝???
t－2?21
2??＋2(0≤t≤1)，
当t＝2时，|OC→＋OD→
|的最小值为222. (2)设OC→＝(cos α，sin α)，0≤α≤3π?
1?2，E??0，－2??
，
则CE→＝OE→－OC→＝???0，－12???－(cos α，sin α)＝???－cos α，－D??1?
?2，0??
， 所以DE→＝??1??－1
2，－2??，
所以CE→·DE→＝1?1?
2??cos α＋2＋sin α??
＝2?
π?12sin??α＋4??
＋4，
因为0≤α≤3π，所以ππ7π
24≤α＋4≤4， 所以sin?
??α＋π4???
∈[－1，1]，
则2?π?1?1212?
2sin??α＋4??＋4∈??4－2，4＋2??.
所以CE→·DE→∈??1212?
?4－2，4＋2??
.
12－sin α?
??.又因为