发布时间 : 星期六 文章2014年天津市高考数学试卷（理科）更新完毕开始阅读019e9ddf5122aaea998fcc22bcd126fff7055d63
【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．
14．（5分）（2014?天津）已知函数f（x）=|x+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 （0，1）∪（9，+∞） ． 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|， 作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
2
则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=
2
，
当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点，
2
此时﹣x﹣3x=﹣a（x﹣1），
2
即x+（3﹣a）x+a=0，
22
则由△=（3﹣a）﹣4a=0，即a﹣10a+9=0，解得a=1或a=9， 当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1， 若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点， 此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
22即x+3x=a（x﹣1），整理得x+（3﹣a）x+a=0，
22
则由△=（3﹣a）﹣4a＞0，即a﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9， 综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|， 若x=1，则4=0不成立， 故x≠1， 则方程等价为a=设g（x）=x﹣1+
=+5，
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=||=|x﹣1++5|，
当x＞1时，g（x）=x﹣1+即x=3时取等号， 当x＜1时，g（x）=x﹣1+
+5≥，当且仅当x﹣1=，
+5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x
﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，
则|g（x）|的图象如图：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根， 则满足a＞9或0＜a＜1，
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）
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【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣
，
]上的最大值和最小值．
）﹣cosx+
2
，x∈R．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式
求出此函数的最小正周期；
的范围，再利用正弦函
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx?（sinx====
=π．
，
cosx）
所以，f（x）的最小正周期（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=
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由x∈[﹣∴当当
，]得，2x∈[﹣时，即
，]，则∈[，]，
，
=﹣=
=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：=时，f（x）取到最大值是：， ．
时，即
所以，所求的最大值为，最小值为
【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式
应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．
16．（13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列
出随机变量X的分布列求出期望值． 【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A， 则
，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．
（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望
（k=0，1，2，3）
3 ．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，
考查应用概率解决实际问题的能力．
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