发布时间 : 星期一 文章电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答更新完毕开始阅读01ecb22e6e175f0e7cd184254b35eefdc8d315f1
z q a o 1r 4?R3??3为介质球的体积。故介质球外的电场为 其中
P???21??2(er2cos??e?sin?)E2????2(r,?)??er?e??34??r0?rr?r
题4.18图
可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同。
4.18 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。
解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。 设
?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos? ?0(r,?)?是点电荷q的电位，
?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为 ① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。 由条件①，可得
??in(r,?)的通解为
?in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)n?0
为了确定系数
An，利用1R的球坐标展开式
??rn??rn?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?01??R??r1nP(cos?)(r?r1)?n?1n??n?0r
an?0(a,?)?P(cos?)?n?1n?(r,?)在球面上展开为 4??0n?0r1将0
q?代入条件②，有
?Aann?0??n?1anPn(cos?) ?P(cos?)?0?n?1n4??0n?0r1
q?qa2n?1An??n?1Pn(cos?)4??r01比较的系数，得到
a2n?1?(r,?)??P(cos?)?n?1n4??0R4??0n?0(rr1)故得到球外的电位为
qq?讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到
ar1a2n?1P(cos?)??n?1n(rr)n?01r2?(a2r1)2?2r(a2r1)cos??
??a2r1?r?(r,?)由此可见，的第二项是位于的一个点电荷q??qar1所产生的电位，此电荷
正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。
z a R P(r,?)
4.19 一根密度为
ql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。
证明：对于r?a的点，有
r ? o ?a
?ql?aa3a5?(r,?)??P(cos?)?P(cos?)?L??242??0?r3r35r5?
解 线电荷产生的电位为
题4.19图
ql1??(r,?)?dz?4??0??aR4??0对于r?a的点，有
qlaa?a?1r?z??2rz?cos?22dz?
(z?)n??n?1Pn(cos?)22r?z??2rz?cos?n?0r
1?故得到
(z?)n?(r,?)???rn?1P(cos?)dz??4??0n?0?aql?a
ql?aa3a51an?1?(?a)n?1Pn(cos?)???3P2(cos?)?5P4(cos?)?L?n?12??3r5r4??0n?0n?1r0?rql????
4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为
4?1?r?23?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?L4??0a?8?a??2?a?Q???? (r?a)
4?1?a?2?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?L?4??0r?8?r??2?r?? (r?a) ?Q解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度
z ?? a x 题 4.20图
Q?Q?(cos??cos)??(cos?)222?a22?a
再根据边界条件确定系数。
o y
?(r,?)和?2(r,?)，则边界设球面r?a内、外的电位分别为1条件为： ① ② ③
?1(0,?)为有限值；
?2(r,?)?0(r??)?1(a,?)??2(a,?)，
?0(??1?r???2?r)?Q2?a2?(cos?)r?a
根据条件①和②，可得
?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
??n1(r,?)??AnrPn(cos?)n?0 （1）
???n?12(r,?)??BnrPn(cos?)n?0 （2）
代入条件③，有
Anan?B?n?1na ??[An?1nna?B?n?2n(n?1)a]Pn(cos?)?Qn?02??0a2?(cos?) （4）将式（4）两端同乘以
Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得
(2n?1)Q?A1nnan??Bn(n?1)a?n?2?4??a2??(cos?)Pn(cos?)sin?d??00
(2n?1)Q4??a2Pn(0)0 （5）
?n?1,3,5,LP(0)??0n?n21?3?5L(n?n?2,4,6,L其中
??(?1)1)2?4?6Ln
AQQann?由式（3）和（5），解得 4??n?1Pn(0)Bn?Pn(0)0a，4??0
代入式（1）和（2），即得到
?Q?1?r?23?r?4?1?4???1???P2(cos?)???P4(cos?)?L?0a??2?a?8?a??? (r?a)
3） （