发布时间 : 星期一 文章湖北省巴东一中高中数学 2.1合情推理与演绎推理(二)教案 新人教版选修22更新完毕开始阅读028ed552ce7931b765ce0508763231126fdb776b
§2.1 合情推理与演绎逻辑（二）
【内容分析】：
类比是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。 【教学目标】： 1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义 （2）能利用类比方法进行简单的推理， 2、过程与方法：
通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。 3、情感态度与价值观：
体验并认识类比推理在数学发现中的作用。 【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程 （2）类比推理的局限 【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论 【教学过程设计】： 教学环教学活动 设计意图 节 一、问1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯 题情景 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇 引入课题 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 通过阅读教学生阅2)有大气层,在一年中也有季节变更; 材体会类比读 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜推理的思维 想;火星上也可能有生命存在. 过程 4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理. 二、概由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类比推念教类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 理――联学 类比练习： 想――普遍 (i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结联系 论如何类比到球体？ (ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ 由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面. 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 三、例例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格） 题讲解 类比角度 实数的加法 实数的乘法 若a,b?R,则a?b?R 若a,b?R,则ab?R 运算结果 a?b?b?aab?ba 运算律 (a?b)?c?a?(b?c)(ab)c?a(bc) 乘法的逆运算是除法，使分析探索过加法的逆运算是减法，使得得方程ax?1有唯一解程 逆运算 方程a?x?0有唯一解1x??a x? a a?0?a a?1?1 单位元
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例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 思维：直角三角形中，?C?900，3条边的长度a,b,c，2条直角边a,b和1条斜边c； →3个面两两垂直的四面体中，?PDF??PDE??EDF?900，4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S. → 拓展：三角形到四面体的类比. 例4、（可作为研究性学习材料） 2222四、课例:(2001年上海)已知两个圆①x+y=1:与②x+(y-3)=1,则由①式减去②堂训练 式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。 解析：类比猜想 1)圆心 2）半径 推广的命题为： 222222 设圆的方程为 (x-a)+(y-b)=r① 与 (x-c)+(y-d)=r②（a≠c或b≠ d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。 五、小类比推理的几个特点 结 1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的 认识为基础,类比出新的结果. 2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能. 练习P93 1，2.3，4.5 ; P94 1 【练习与测试】： （基础题）
1）已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝
1）联想 2）探索性 3）不确定性 指出类比推理的结果不一定可靠 1ah，可知扇形的面积公式为_________ 22)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．①；B．①②； C．①②③； D．③
3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 4）定义运算a?b=?(a?b)15）三角形的面积公式为S＝ah（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积V＝
2026）在三角形ABC中，?C?90,CD?AB于D，则有AC?AD?AB，类比此性质，给出空间四面体
的一个猜想，并判断该猜想是否正确。
答案： 1）s=
?a?b(a?b) 则对x?R，函数f(x)=1?x的解析式为__________。
1lr 2?1?x(1?x) (1?x)2
2）C
3）正棱锥的侧棱长相等 4）f(x)=1?x＝?
1Sh（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高） 326）在棱锥S－ABC中，SC?平面SAB,SO?平面ABC于O，则S?SAB＝S?OAB?S?CAB
5） 四面体的体积V＝
（中等题）
1）a,b为实数，则由a?b?0?a?0或b?0，类比向量运算中a?b?0可以得出什么结论？ 2）若三角形的内切圆半径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积s?1r(a?b?c)根据类比思想，2若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为s1,s2,s3,s4，则此四面体的体积V＝_________
a2?b23) 在?ABC中，若AB?AC,AC?b,BC?a，则?ABC的外接圆半径r?，将此结论拓展到空
2间，可得出的正确结论是：在四面体S?ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA?a,SB?b,SC?c，则四面体S?ABC的外接球半径R?_______．
4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平
2222
行四边形ABCD中，有AC+BD=2(AB+AD)，那么在图2所示的平
2222
行六面体ABCD—A1B1C1D1中，有AC1+BD1+CA1+DB1=（ ）.
222222
A．2（AB+AD+AA1） B．3（AB+AD+AA1）
22222
C．4（AB+AD+AA1） D．4（AB+AD）
答案：
1）a?b?0 ?a?0或b?0或a?b
13a2?b2?c23）
24）C
（难题）
2）V＝r(S1?S2?S3?S4)
1(a1?a2???an)，则数列?bn?也是等差数列。类比上述性质，n若数列?cn?是各项都为正数的等比数列，对于dn?0，则dn= na1a2a3...an时，数列?dn?也是等比数列。
1）若数列?an?是等差数列，对于bn?222）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为?、?，则cos??cos??1,若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式： __________________________________________________________________ . D1C1DCA1B1DCABA答案： 1）dn=na1a2a3...an
2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，BD与同一顶点三个侧面所成角分别为?、?、?，则
B cos2??cos2??cos2??2
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