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第6章 真空中的静电场 习题及答案

1. 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处。一试验电荷置于x轴上何处,它受到的合力等于零?

解:根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定,只有试验电荷q0位于点电荷?q的右侧,它受到的合力才可能为0,所以 故 x?3?22

2. 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点。试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解:(1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知,q?为负电荷,所以 故 q???3q 3(2)与三角形边长无关。

3. 如图所示,半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环,在其轴线上放一长为l、电荷线密度为?2的均匀带电直线段,该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。

解:先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dq??1dl,

dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为

dE?dq 224??0(x?R) R O y ?1 ?2 l 根据电荷分布的对称性知,Ey?Ez?0

x z

式中:?为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。

下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dq??2dx,dq受到的电场力大小为 方向沿x轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 方向沿x轴正方向。

4. 一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为?。求: (1)圆心处O点的场强;

(2)将此带电半圆环弯成一个整圆后,圆心处O点场强。 解:(1)在半圆环上取dq??dl??Rd?,它在O点产生场强大小为

dE?dq??d? ,方向沿半径向

4π?0R24π?0R外

根据电荷分布的对称性知,Ey?0 故 E?Ex??,方向沿x轴正向。 2π?0R(2)当将此带电半圆环弯成一个整圆后,由电荷分布的对称性可知,圆心处电场强度为零。

5.如图所示,真空中一长为L的均匀带电细直杆,总电量为q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。

解:建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?生的场强大小为

dE?dq?dx?,方向沿x轴负方向。

4??0x24??0x2qdx,dq在P点产L故 P点场强大小为 方向沿x轴负方向。

x

q L P d O 6. 一半径为R的均匀带电半球面,其电荷面密度为?,求球心处电场强度的大小。

解:建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为dl的细圆环,其带电量dq???dS???2?rdl???2?R2sin?d?,

dq在O点产生场强大小为(参见教材中均匀带电圆

x r d环轴线上的场强公式)

dE?xdq4??0(x?r)2232 ,方向沿x轴负方向

利用几何关系,x?Rcos?,r?Rsin?统一积分变量,得

O R 因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向,所以球心处电场强度的大小为 方向沿x轴负方向。

7. 一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为?,如图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。

解:应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为?????的半径为R的带电圆盘,由场强叠加原理知,P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电

圆盘在该处产生的场强的矢量和。

“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为

E1?σ,方向沿x轴正方向 2?0半径为R、电荷面密度?????的圆盘在P点产生的场强大小为(参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式)

E2?x?(1?),方向沿x轴负方向 2?0R2?x2R O ??P 故 P点的场强大小为 方向沿x轴正方向。

x x 8. (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?

??q解:(1)由高斯定理?E?dS?求解。立方体六个面,当q在立方体中心时,

s?0每个面上电通量相等,所以通过各面电通量为

(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中心,则通过边长2a的正方形各面的电通量?e?q 6?0q,如果它包24?0对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则?e?含q所在顶点,则?e?0。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的密度分别为?1和?2,试求空间各处场强。