发布时间 : 星期日 文章(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 根式、指数、对数习题(含解析)更新完毕开始阅读02da4b23aa114431b90d6c85ec3a87c241288a41
第5节 根式、指数、对数
考试要求 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
知 识 梳 理
1.根式与指数幂的运算 (1)根式
n①概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
nnnnnnn②性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，a＝|a|＝
??a，a≥0，? ?－a，a<0.?
(2)分数指数幂
m①规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是an＝－
nm*
m1
(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指
*
nam数幂没有意义.
②有理指数幂的运算性质：aa＝a2.对数与对数的运算 (1)对数的概念
如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③aloga＝N；④logaa＝b(a>0，且a≠1). (3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN；
1
Nbxrsr＋s；(a)＝a；(ab)＝ab，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
rsrsrrrMN③lognaM＝nlogaM(n∈R)； (4)换底公式
logN＝logaNblog(a，b均大于零且不等于1).
ab[常用结论与易错提醒]
已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则： (1)lognnamM＝mlogaM(m，n∈R，且m≠0). (2)logab＝
1
log，推广logab·logbc·logcd＝logad. ba基 础 自 测
1
1.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]0
2－(－1)的结果为( ) A.－9 B.7 C.－10
D.9
1
解析 原式＝(26)2－1＝8－1＝7. 答案 B
2.若loga2
D.b>a>1
解析 loglg 2lg 2
a2 答案 B 1 1 2 －0 33.??3?2??3?×??7?－6??44? ＋8×2－ ???－23??? ＝________. 1 3 1 1 解析 原式＝??2??344?2?33??×1＋2×2－??3?? ＝2. 答案 2 4.(2015·浙江卷)计算：log222 ＝________；2log3＋log3 24＝________. 解析 log222＝log1122－log22＝2－1＝－2 ； 2 log3＋log3 24 ＝2log32 ·2 log34 ＝3×2 log33 4 ＝3×2 log2 ＝33. 2 1 答案 － 33 2 5.设α，β是方程5x＋10x＋1＝0的两个根，则2·2＝________，(2)＝________. 1αβ解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝，则2·2＝ 52 α＋β1 1αβαβ＝2＝，(2)＝2＝25. 4－2 2 αβαβ11 答案 25 4 6.(2019·温州适应性考试)已知2＝3，3＝2，则a，b的大小关系是________，ab＝________. ln 3ln 2ab解析 由2＝3，3＝2，得aln 2＝ln 3，bln 3＝ln 2，即a＝，b＝，又因为ln 3>ln ln 2ln 3ln 3ln 2 2>0，所以a>b，且a·b＝×＝1. ln 2ln 3答案 a>b 1 考点一 指数幂的运算 ab【例1】 化简：(1) a3b2ab2 11 3 （a4b2）ab2－ －1 114－ 33 (a>0，b>0)； 2 ?27?3－10(2)?－?＋(0.002)－10(5－2)＋(2－3). ?8? 1232 1 （aba3b3）231111＋－1＋1＋－2－－1 解 (1)原式＝＝a263b33＝ab. 11ab2a－3b3 2 27?3?1?210?－(2)原式＝?＋??－＋1 ? ?8??500?5－2 2 1 8?3?＝?－?＋5002－10(5＋2)＋1 ?27? －－ 1 4167＝＋105－105－20＋1＝－. 99 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 3 【训练1】 化简求值： 3?1?2??－20.522(1)??＋2×??－(0.01)； ?5??4? 2 －10 －1 （a3×b）2×a(2) 6 1 － 11 －×32 b. a×b5 1 1 1?4?2?1?2 解 (1)原式＝1＋×??－?? 4?9??100?1211116＝1＋×－＝1＋－＝. 431061015 11 a－3b2×ab(2)原式＝ 1511 －23＝a111115－－－×b＋－3 26 231＝. 6 a6b6 考点二 对数的运算 a11ab【例2】 (1)设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( ) abA.10 C.20 B.10 D.100 1 1??－ (2)计算：?lg－lg 25?÷1002＝________. ?4? 解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 1111 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m解得m＝10. (2)原式＝(lg 2－lg 5)×1002＝lg?答案 (1)A (2)－20 规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)a＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2＝3＝5，则( ) 4 xyzb－2 2 1 ?212?×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. ??2×5?