发布时间 : 星期一 文章高中物理竞赛几何光学测试题(含详细解析)更新完毕开始阅读0344dccdd5d8d15abe23482fb4daa58da0111cc2
几何光学测试题
1、如图（a）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n。
图（a）
2、内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？
r 2R S O R
3、如图1中，三棱镜的顶角?为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f?30.0cm的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方y?14.3cm处放一单色点光源S，已知其像S?与S对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．
? F f S ? y n S?
L1L2图1
4、如图（a）所示，两平面镜A和B的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O点，两镜面间夹角为
??15?，今自A镜面上的C点处沿与A镜面夹角??30?的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面经
多次反射后而不再与镜面相遇。设两镜面足够大，CO?1m。试求：
（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？
DB
? ? O C A
图(a)
5、有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0 cm，折射率n?1.5。在其下表面下2.0 cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距f?30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图（a）所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?
图（a）
6、望远镜的物镜直径D＝250cm，其焦距f＝160m。要用此望远镜对相距L＝320km，直径d＝2m的人造地球卫星拍摄照片，试问：（1）照像底片应该放在距焦点多远的位置上？（2）人造卫星的像的大小是多少？
7、有一只厚玻璃缸，底厚5cm，内盛4cm深的水，如图（a）所示。已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？
图（a） 8、有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m，玻璃的折射率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图所示。在此系统的左侧主轴上放一物S，S距系统1.5m，问S成像于何处？
S C 1.5m 0.5m
9、薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧各有一个焦点（设为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和
f2。现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如
图（a）所示。
1．试求出此时物距u，像距v，焦距f1、f2四者之间的关系式。
2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为?1，则与之相应的出射线与主轴的夹角?2多大？
3．f1，f2，n1，n2四者之间有何关系？
图（a）
10、有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为f1、f2和f3的透镜L1,L2,L3，f1?f2?f3；观察屏P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的
分光元件（如图（a）所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光? 源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。
已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，
它对钠D线的折射率n图（a）
D＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率n?D=1.7200。
1.试在图（b）中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。
2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角?的数值。
图（b）
几何光学测试题
1、（第25届全国中学生物理竞赛预赛）如图（a）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n。
图（a）
图（b）
入射的两条光线如图（b）所示。α1、β1是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α2、β2是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。根据折射定律有
nsinα1=sinβ1 (1) sinα2=nsinβ2
(2) 由几何关系有 β1=α1+δ1
(3) α2=β2+δ2
(4)
设球面的半径为R，注意到α1、α2、δ1、δ2都是小角度，故有
Rα1=aδ1 (5) Rα2=bδ2
(6) 根据题给的条件，(1)、(2)式可近似表示成
nα1=β1 (7) α2=nβ2
(8) 由(3)式?(8)式得 n?ba (9)
2、（第22届全国中学生物理竞赛预赛题）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？
解：自S作球的切线S?，并画出S经管壁反射形成的虚像点S?，及由
r 2R S?画出球面的切线S?N，如图1所示，由图可看出，只要S?M和S?N之间S O R 有一夹角，则筒壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．
S?S? 由图可看出，如果r
M M 的大小恰能使S?N与
r S ??O S N ??R ??r S?M重合，如图2，则2R 2R O N r?就是题所要求的筒的
图1
图2
内半径的最大值．这时
SM 与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r．由图2可得?
??????????????????????????????????????r?Rcos??R1?sin2? （1）
由几何关系可知
sin???R2R? （2） 由（1）、（2）式得
r?233R （3） 3、（第十九届全国中学生物理竞赛预赛）如图1中，三棱镜的顶角?为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f?30.0cm的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方y?14.3cm处放一单色点光源S，已知其像S?与S对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率． 解：
?Ff S ? y n S?L1L2图1
? ? ? iA C B 1 r 2 Ff O1 y? r1 i2 ? ? f?F?S? n O?? 2 y?L1LS?2图2
由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由S射向L1光心的光线的光路图如图2所示。由对称性可知
i1?r2 ①
i2?r1 ②
由几何关系得 r1?i2???60? ③ 由图可见
i1???r1 ④
又从?FSO1的边角关系得
tan??y/f ⑤
代入数值得
??arctan(14.3/30.0)?25.49? ⑥
由②、③、④与⑥式得r1?30?，i1?55.49? 根据折射定律，求得
n?sini1sinr?1.65 ⑦ 1
4、如图（a）所示，两平面镜A和B的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O点，两镜面间夹角为
??15?，今自A镜面上的C点处沿与A镜面夹角??30?的方向在纸面内
DB 射出一条光线，此光线在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。设两镜面 足够大，CO?1m。试求：
O? ? C A 图(a)
（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？ 解：首先就一般情况进行讨论，如图（b）。设光线第一次在平面镜B上发生反射时，CD为入射光线，DE为反射光线，又设图中的A1为平面镜A关于OB的对称镜面，则图中DE?与DE也关于OB对称，即
DE??DE。
又由光的反射定律和图中的对称关系容易得出：C、D、E?三点在同一直线上，且DE?对平面镜A1的入射角等于DE对平面镜A的入射角。
因此光线由C?D?E所经过的路径和它将进一步发生反射的情况，可以用光线在D处不发生反射而沿直线前进至镜面A1上的情况来代替。对于E点反射后的光线EF，通过同样的分析也可用E?F?来代替，其中平面镜B1为平面镜B关于A1的对称镜面，F?为直线CD与平面镜B1的交点。
B1 F? K? ? E?A1 F D B ? ? B O? ? D E C A
??
O C A 图（b） 图（c）
显然，对于以后的各次反射，我们按照上法依次类推下去，其等效关系都能照样成立。
根据以上分析，我们自OB出发，每隔?角画一块对称镜面，如图（c）所示。令其自OB镜面起，依次为第1、第2、…第n、第(n?1)块镜面，再做射线CD，使其依次与所有可能相交的镜面相交，设其相交后的最后一块镜面为第n块，其交点K，则有
?AOK?n?
这样得出的图的意义是：CD射线与每一块镜面相交一次，则相当于光线在AB两镜面间反射一次，在K点相当于发生最后一次反射，此后的光线不再与第(n?1)块镜面相遇，即光线此后将在AB两镜面间平行于某一镜面向外射出。
由图可见，由于第n块镜面与CD射线相交，而第(n?1)块镜面与CD射线不相交，故n值应满足关系式是
n????180??(n?1)??? 所以 n?180?????n?1 （*）
（1）根据（*）式结合本题所给的条件有