发布时间 : 星期五 文章梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)更新完毕开始阅读03757ad328ea81c758f578fd
梅森数之谜：MM127是素数吗？
周平源
E-mail: zhoupingyuan49@gmail.com
当Mp=2–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。
1876
p
年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2–1是素数后，
127
数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数: c1=M2，
c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，?.并猜想这些数都是素
数。它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）。前4个数 c1=M2，c2=M3，
c3=M7，c4=M127
在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素
数，但第5个数c5=MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方
法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。
多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面：
1.在MM127 的数值规模上（位数超过10），可计算出MM127为素数的概率约为1/2，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。
2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。第一例：梅森素数（Mersenne prime）。公元前就知道前4个梅森数M2，M3，M5，M7都是素数因而人们曾猜测对于每个素数p相应的梅森数Mp都是素数，但因为雷吉乌斯在1536年发现M11是合数这个猜想就被否定了。第二例：双梅森素数（double Mersenne prime）。由于已知前4个双梅森数MM2，MM3，MM5，MM7都是素数因而人们曾猜测对于每个梅森素数Mp相应的双梅森数MMp都是素数，但在1976年Wilfrid Keller发现MM13存在因子后这个猜想也被否定了（至今已经知道双梅森数MM17，MM19，MM31也都有已知因子，正在寻找MM61的因子。在此发现MM31存在因子有特殊意义，因为这个梅森合数MM31的数值已经远远大于最大已知梅森素数M43112609的数值）。第三例也是最著名的例子：费马素数（Fermat prime）。法国大数学
120
38
家费马（Fermat）在发现前5个费马数Fn=2^2^n+1（n=0,1,2,3,4）都是素数后便猜想每个费马数都是素数但没有给出证明。在费马提出这个猜想60年后，瑞士大数学家欧拉（Euler）于1732年证明第6个费马数可分解为F5=4294967297=641×6700417（现在已有几十种方法可以证明这个结果），从而否定了费马的这个猜想。费马一生中提出过许多重要的猜想，但只有这一个猜想没有成功。鉴于这类先例，数学家David G. Wells 2005年在其专著Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Mathematics（素数：数学中最神秘的图案）中讲述到卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）时评论道，“如同许多这类猜想一样，在这里一个合数项也可能会非常快地出现。”因为每个卡特兰-梅森数实际上都是梅森数，在卡特兰-梅森数序列中前一个梅森数总是后一个梅森数的指数，所以如果出现一个卡特兰-梅森合数，那么以下的所有卡特兰-梅森数都是合数。在梅森数的素性研究中，这是早已证明无疑的。于是，第5个卡特兰-梅森数c5=MM127是素数还是合数就显得至关重要。如果MM127是合数，卡特兰-梅森猜想就此最终破解。但如果MM127是素数，卡特兰-梅森猜想仍然是一个悬案，因为接下来的任务是需要判断第6个卡特兰-梅森数c6=MMM127是素数还是合数。由于c6=MMM127是个巨大的天文数字，要对它的素性作出判断难于登天。这就意味着，如果MM127真是素数，那么卡特兰-梅森猜想可能成为千古悬案，除非卡特兰-梅森猜想本身得到证明是成立还是不成立。
我们应当注意到，上述早期猜想的破解都是依靠实证合数的出现，而对卡特兰-梅森猜想而言，要找到MM127的因子有待于遥远的未来。是否存在一些理论上的启示现在就可能帮助我们判断MM127是不是合数呢？
首先可以想到的是，把每一个已知梅森素数分别作为首项都可以推出一个相应的卡特兰-梅森数的无穷列。原始的卡特兰-梅森数是以M2为首项推出的数列，由于 M3， M7， M127已被包含其中，因此分别以M3， M7， M127 作为首项而推出的相应的卡特兰-梅森数列与以M2为首项推出的卡特兰-梅森数列等效，它们会出现相同结果。新的卡特兰-梅森数列可以分别从M5，M13，M17，M19，M31等作为首项推出。由M5为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M5,MM5，MMM5，MMMM5，MMMMM5，?.它的第一项M5是素数，第二项MM5=M31是素数，但第三项MMM5=MM31是已知合数因而以下所有项均是合数。由M13为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M13,MM13，MMM13，MMMM13，MMMMM13，?.它的第一项M13是素数，第二项MM13是已知合数因而以下所有项均是合数。由M17为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M17,MM17，MMM17，MMMM17，MMMMM17，?.它的第一项M17是素数，第二项MM17是已知合数因而以下所有项均是合数。由M19为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M19,MM19，MMM19，MMMM19，MMMMM19，?.它的第一项M19是素数，第二项MM19是已知合数因而以下所有项均是合数。以M31为首项推出的卡特兰-梅森数列已经被包含