发布时间 : 星期二 文章高考数学 考点21 直线、平面之间的位置关系练习更新完毕开始阅读0387ae3830126edb6f1aff00bed5b9f3f90f72c8
足分别为
M1,M2,M3，则M1(1,y,0)M,2(0,z1,M),x(，,0,1)3根据两点间距离公式，得方程组
222(x?1)?z2?x2?(y?1)?y2?(z?1)，显然x?y?z时这个方程恒成立，即这个方程组有无穷多组
解，故这样的点有无穷多个.
222222(x?1)?z?x?(y?1)?y?(z?1)【方法技巧】利用方程思想求解.方程组中的每个方程都是双曲
抛物面的方程，本题中符合要求的点的集合就是两个双曲抛物面的交线.在一些错误解答中认为其轨迹为柱
面或者是平面是本质性的错误.这个题作为选择题，命题者的目的是考查考生空间想象能力和直觉猜想能力.
10.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ9）已知正四棱锥S?ABCD中，SA?23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）.
（A）1 （B）3 （C）2 （D）3 【命题立意】本题考查了立体几何棱锥的体积计算与导数的运用. 【思路点拨】列出关于棱锥高的函数表达式，利用导数求最大值. 【规范解答】 选C，如图：设棱锥的高为h,底面边长为a,
22a)?h2?(23)222a?2(12?h)， 2则,(1V??2(12?h2)h23，V???2h?8，令V??0，
得h?2时棱锥的体积最大.
11.（2010·江西高考理科·Ｔ１６）如图，在三棱锥O?ABC中，三条 棱OA,OB,OC两两垂直，且OA?OB?OC，分别经过三条棱OA,OB,OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为
S1,S2,S3，则S1,S2,S3的大小
关系为________________．
【命题立意】本题主要考查棱锥的基本知识，考查空间点线面的位置关系，考查面积和体积的问题，考查两数大小的比较，考查空间想象力． 【思路点拨】先确定截面的位置，如图： ∵OA?OB,OA?OC,∴OA?平面BOC.
1VA?OBC?S?BOC?OA3即OA为底面BOC的高，则,
过棱OA的截面若要平分三棱锥的体积，只要平分底面即可，
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故取BC的中点D,则截面AOD平分三棱锥的体积.过棱OB,OC的截面同理. 再确定截面面积，最后比较大小.
【规范解答】依次取BC,CA,AB的中点D,E,F，则截面三角形Rt?AOD,Rt?BOE,Rt?COF所在平面均
平
分
三
棱
锥
的
体
积
，
设
OA?a,OB?b,OC?c，则
1b2?c21a2?c2a2b2?a2c2?a2b2?b2c2a?bS1?S2?22224=，又因为OA?OB?OC，即
a?b?c，所以S1?S2?0，即S1?S2.同理可得S2?S3.
【答案】
S3?S2?S1.
【方法技巧】为了便于计算，可取特殊值，如OA?3,OB?2,OC?1. 12. (2010·四川高考理科·Ｔ15）如图，二面角??l??的大小是60°，线段AB??.B?l，
AB与l所成的角为30°.则AB与平面?所成的角的正弦值是 .
【命题立意】本题考查了空间几何体的二面角，线面角的求法问题.
【思路点拨】首先作出AB与平面?所成的角，二面角??l??的平面角，然后利用具有已知条件的直角三角形求边.
【规范解答】如图：过A点作AO??,垂足为O，连结AO，则?ABO就是AB与平面?所成的角.
?再过O作OC?l,垂足为C，连结BC，则?ACO就是二面角 ??l??的平面角.即?ACO?60，设
AB?a，在Rt?ACB中，
∵?ABC?30,∴
?AC?ABsin30??a2，
在Rt?AOC，
AO?ACsin60??3a4.
AO3sin?BAO??4 在Rt?AOB中，sin?ABOAB3【答案】4
【方法技巧】本题主要利用三垂线定理及其逆定理把要求的角作出来再求解.
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13.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ19）如图，四棱锥S?ABCD中，
SD?底面ABCD， AB//DC，AD?DC，AB?AD?1, DC?SD?2， E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC.
（1）证明：SE?2EB；
（2）求二面角A?DE?C的大小 .
【命题立意】“似曾相识燕归来”. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况，命题人在这里一定会照顾双方的利益.学生在备考中也应注意这一点，两种方法都应重视，不可偏颇.
【思路点拨】本题很常规，给人感觉很熟悉，尤其给出，底面ABCD为直角梯形，SD?底面ABCD，这就为解答提供很大的方便，大部分考生会考虑到用建立空间直角坐标系，运用向量解答.再者，此题与2007年全国高考数学卷Ⅱ第19题，2009全国高考数学卷Ⅰ第18题非常类似，给人似曾相识的感觉，如果考前接触过这道试题，解决今年的这道考题不会有太大的困难.
【规范解答】方法一：(1)连结BD,取DC的中点G,连结BG,由此知DG?GC?BG?1,即?DBC 为直角三角形,故BC?BD,又SD?平面ABCD,故BC?SD,所以, BC?平面BDS,
BC?DE.
作BK?EC,K为垂足,因平面EDC?平面SBC,故BK?平面EDC,BK?DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK，BC都垂直.
DE?平面SBC,DE?EC,DE?SB,SB?SD2?DB2?6, DE?SD?DB2?SB3,
EB?DB2?DE2?所以, SE?2EB.
626SE?SB?EB?3,3.
(2)由SA?SD?AD?5,AB?1,
22SE?2EB,AB?SA,知
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12AE?(SA)2?(AB)2?133,又AD?1,
故?ADE是等腰三角形.
取ED中点F,连结AF,则AF?DE,连结FG,则FG∥EC,FG?DE.
AF?AD2?DF2?63.
所以,?AFG是二面角A?DE?C的平面角.
连结AG,AG?2,FG?DG2?DF2?63,
AF2?FG2?AG21cos?AFG???2?AF?FG2.所以,二面角A?DE?C的大小为120o.
方法二:以D 为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系D?xyz. 则A(1,0,0), B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2).
uuruuurrruurruuur(1)SC?(0,2,?2),BC?(?1,1,0).设平面SBC的法向量为n?(a,b,c),由n?SB,n?BC, ruurruuur得n?SC?0,n?BC?0,.故2b?2c?0,?a?b?0.令a?1, r则b?1,c?1，n?(1,1,1,).又设SE??EB(??0),
??2E(,,)则1??1??1??.
uuur??2DE?(,,)1??1??1??,DC?(0,2,0).
ur设平面CDE的法向量m?(x,y,z), uruuururuuur由m?DE,m?DC, uruuururuuur得m?DE?0,m?DC?0.
?x?y2zur???0故1??1??1??,2y?0.令x?2,则m?(2,0,??).由平面EDC?平面SBC，urrurrm?n,m?n?0,2???0,??2.故SE?2EB.
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