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大学物理实验指导书
测量误差及数据处理
物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。
§1.1物理量的测量
一、测量与单位
物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与两个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。显然测量值的大小与选取的标准有关，例如，要测量一杯水的质量，在天平两侧将这杯水与选作质量单位的砝码进行比较，如果采用1g的砝码做计量标准，测得结果为标准1g砝码的100倍，则表示测得该杯水的质量为100g。如果采用1㎏的砝码做计量标准，测得结果为标准1kg砝码的1/10倍，则表示测得该杯水的质量为0.1㎏。同样一个物理量，其测量值与选用的单位有关。
物理量的单位构成了计量的单位制，但是并非每一个单位都是基本单位。通过对各个物理量的量纲分析可以证明，只有长度-米(m)、质量-千克(Kg)、时间-秒(s)、电流强度-安培(A)、热力学温度-开尔文(K)、物质的量-摩尔(mol)和发光强度-坎德拉(cd)是基本单位，其他单位为导出单位。各个国家和民族都有自己的度量衡单位。1960年第11届国际计量大会建议各国采用以米（m）、千克（k）、秒（s）、安培（A）、开尔文（K）、摩尔（mol）和坎德拉（cd）为7个基本计量单位，称作国际单位制（SI）。1984年2月27日我国国务院颁布以国际单位制（SI）为基础的单位制为我国的法定单位制。本书采用以国际单位制为基础的我国法定单位制。 二、直接测量和间接测量
测量按其过程可分为直接测量和间接测量。直接测量是指将待测量与定标的测量仪器或量具进行比较，直接读出待测物理量的量值。例如用米尺测量人的身高、用秒表测量单摆的周期、用电流表测量回路的电流强度等。但是有些物理量是无法用仪表或量具直接测量的。例如物体运动的速度、材料的密度和原子的能级等，它们只能通过对一些相关物理量的测量，再通过物理量间的关系间接求出大小。如要测量圆柱体的密度，应首先测出圆柱体的直径D、
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高度h和质量m，再通过公式ρ=4m/(πDh)间接测得圆柱体的密度；又如在单摆实验中，通
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过对单摆长L和摆动周期T的测量，利用公式g=4πL/T可以间接测得当地的重力加速度。
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间接测量与直接测量的划分不是绝对的，有些间接测量量经过传感器的转化也可以变为直接测量量。例如通过测量小线圈内的感应电量，可以间接测得小线圈所在磁场的磁感强度，但是当采用霍尔元件作传感头，就可以直接在表盘上读出磁场的磁感强度，这时磁场的磁感强度又成为直接测量量。
在测量某一物理量时，通常要对物理量重复多次测量，但是对该物理量的测量结果往往与测试条件有关。如果同一观察者在相同环境下，用同一种测试方法和同一台仪器进行多次测量，此时可以认为每一次的测量精度都相同，称作等精度测量。如果在测试中有某一条件不同，例如用两台感量不同的天平测量同一物体的质量，则称作不等精度测量。等精度测量与不等精度测量的数据处理方法是不同的，本书在不作特殊说明时，都认为是等精度测量。
测量仪器是进行测量的必要工具。熟悉仪器性能。掌握仪器的使用方法及正确进行读数，是每个测量者必备的基础知识。如下简单介绍仪器精密度、准确度和量程等基本概念。
仪器精密度是指仪器的最小分度相当的物理量。仪器最小的分度越小，所测量物理量的位数就越多，仪器精密度就越高。对测量读数最小一位的取值，一般来讲应在仪器最小分度范围内再进行估计读出一位数字。如具有毫米分度的米尺，其精密度为1毫米，应该估计读出到毫米的十分位；螺旋测微器的精密度为0.01毫米，应该估计读出到毫米的千分位。
仪器准确度是指仪器测量读数的可靠程度。它一般标在仪器上或写在仪器说明书上。如电学仪表所标示的级别就是该仪器的准确度。对于没有标明准确度的仪器，可粗略地取仪器最小的分度数值或最小分度数值的一半，一般对连续读数的仪器取最小分度数值的一半，对非连续读数的仪器取最小的分度数值。在制造仪器时，其最小的分度数值是受仪器准确度约束的，对不同的仪器准确度是不一样的，对测量长度的常用仪器米尺、游标卡尺和螺旋测微器它们的仪器准确度依次提高。
量程是指仪器所能测量的物理量最大值和最小值之差，即仪器的测量范围（有时也将所能测量的最大值量程）测量过程中，超过仪器量程使用仪器是不允许的，轻则仪器准确度降低，使用寿命缩短，重则损坏仪器。
§1．2 测量误差及其分类
如前所述，测量是指将一个客观存在的物理实体与选作单位的计量标准进行比较，测量值是指物理实体与标准计量单位的倍数。我们所要测量的物理量在一定的条件下客观的真正大小，称为真值，通常用x0表示。在大多数情况下我们不可能得到待测物理量的真值，在实际测量过程中由于测量仪器精度的不够，测量原理和方法的不完善，测量者感官能力的限制等，每一次测量的结果和真值之间总存在一定的差异。我们将测量值x与真值x0之差e称为测量误差。
e?x?x0 （1-1）
对任何测量而言，测量误差是不可避免的。我们可以通过改善实验条件、选择合理的实验方法或精度更高的测量仪器来减少测量误差，但是要完全消除误差是不可能的。由于真值在多数情况下无法确定，测量的误差也不可确定。处理实验数据的目的是估算测量误差的大小，求出在给定条件下真值的最佳估计值，并对实验结果的精确程度做出评估。
测量时并非仪器的精度越高、测量误差越低越好，对物理量的测量也需要考虑测量成本。例如，测量人的体重只需要磅秤而无须用天平。设计实验就是要在一定的允许测量误差下，选用低成本的测量方法和测量仪器，获得最佳的测量结果。
误差产生的原因相当复杂，有些是实验仪器、测量方法和测量环境造成的，也有些是人
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为因素造成的。根据误差产生的原因，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 一、系统误差
在同一条件下对同一物理量进行等精度测量，误差呈现的符号、数值不变或按照一定的 规律变化，这类误差称作系统误差。例如用天平测量质量时，由于天平两臂不等长使测量值偏大或偏小，与实际真值相比产生定向的偏离。产生系统误差的可能原因有： （1） 测量仪器本身的缺陷。例如计量标准偏差、零点偏移等。
（2） 实验理论和方法的不完善。在实验时由于忽略了一些次要因素，或由于理论的不完
善导致某些要素被忽略。例如测量回路电流时忽略电流表的内阻，测量霍尔电压时忽略了接触电势差等。
（3） 环境影响或没有在规定条件下使用仪器。例如标准电池在不同环境温度下电动势不
同，测量其电动势时没有根据具体情况对其进行修正或者标准电池没有在安全电流下工作。
（4） 实验人员读数时的习惯偏差。由于实验人员所受的训练和习惯差异，使读数偏大或
偏小。
系统误差的特点是它的确定规律性。由于其符号的可确定性，不能通过在相同条件下进行多次重复测量来消除和发现系统误差，但是通过对实验过程的详细分析，可以确定部分系统误差的量值与符号，这部分系统误差称为可定系统误差。对于可定系统误差，可以在测量值中进行修正，修正后的测量值为
实际值=示值+修正值
例如螺旋测微器有一初读数0.006mm，即修正值为-0.006mm。现在测得细金属丝直径的示值为0.215mm，则金属丝直径d的实际值为
d=0.215-0.006=0.209(mm) 对未能确定大小和符号的系统误差，称为未定系统误差。未定系统误差是一个较为复杂的问题，没有普遍可以遵循，只能确定误差的范围（极限）。 二、随机误差
在同一条件下对同一物理量进行等精度测量，消除系统误差后剩余的误差符号和数值变化不定，依照随机规律变化，这类误差称作随机误差。例如用天平测量圆柱体质量时，由于天平轻微地抖动或观察天平平衡时视线的差异，造成读数与真值相比呈现随机起伏。产生随机误差的主要原因有： （1） 观察者感觉器官的分辨能力或心理能力的限制。例如在估读某一测量值时多次估读值
会不同。
（2）实验环境、电源和电信号背景噪声的随机变化。环境温度、电源电压、电源频率和背
景噪声的变化是一种随机性波动，例如用数字万用表测量日光灯的工作电流，电流表显示读数的末位不断闪烁变化，表明电流的随机起伏。 随机误差的特点是它出现的随机性，误差的大小和符号以不可预定的方式变化。尽管在一次测量值中，随机误差的数值和符号无法确定，但是当测量次数增加时，随机误差服从一定的统计规律。不同的测试仪器统计规律也不同，最常见的是正态分布和均匀分布。根据随
机误差服从的统计分布规律，可对随机误差的大小和测量结果的可靠性作出合理的评价。
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以测量值x为变量，正态分布和均匀分布的误差函数f(x)的曲线分别如图1-1和图1-2所示。估读数引起的误差通常呈正态分布，估读数偏大和偏小出现的概率相同；而仪器误差（定义参见§1.4）大多呈均匀分布，不同测量值附近误差值几乎相同。呈正态分布的误差具有下列特点：
⑴ 单峰性：测量值与真值相差愈小，这种测量值（或误差）出现的概率（可能性）愈大，与真值相差大的，则概率愈小。
⑵ 对称性：绝对值相等、符号相反的正、负误差出现的概率相等。
⑶ 有界性：绝对值很大的误差出现的概率趋近于零。也即是说，总可以找到这样一个误差限，某次测量的误差超过此限值的概率小到可以忽略不计的地步。
⑷ 抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而越来越趋向于零，即
1n?xi?0 ?limnn??i?1由于呈正态分布的随机误差正负出现的概率相同，而小误差出现的概率又较大，因而当消除
系统误差后多次测量的算术平均可以减小随机误差。但是在大多数情况下，需要通过随机误差的统计规律对测量值的误差和真实性做出判断。 三、粗大误差（过失误差）
凡是明显歪曲测量结果，又无法根据测量的客观条件作出合理解释的误差，都称为粗 大误差。产生粗大误差的原因是多方面。主要原因是观测者的缺乏经验、或过于疲劳而造成的。测错、读错、计错、算错等测量过失。此外，外界的突发性干扰使实验条件发生不能容许的偏离而未被发现等。 四、精密度、准确度和精确度
由于真值不可确定，为了判断一组测量值的准确性和精确性，我们可以引入精密度、准 确度和精确度的概念。
以打靶为例。将打靶比作测量，每一次的弹着点表示一次测量值，而靶心为真值。当我 们瞄准靶心射击时，子弹实际的弹着点与枪的质量、射手的射击技能和风速等因素有关。如果射手是一名高水平的狙击手，遗憾的是当时遇到侧风或枪支瞄准具不准，靶面上的弹着点如图1-3(a)所示。这表明弹着点的离散程度较小，但子弹弹着点总体偏离了靶心。如果射手是一名业余射手，在风和日丽的环境下用一支精确校准过的枪支射击，靶面上的弹着点如图1-3(b)所示。这表明弹着点的离散程度较大，子弹弹着点均匀散布在靶心四周。如果射手是一名高水平的狙击手，在风和日丽的环境下用一支精确校准过的枪支射击，靶面上的弹着点如图1-3(c)所示。这表明弹着点的离散程度较小，子弹弹着点总体集中在靶心四周。
上述三张图实际反映了对测量数据三种评价的描述：
（1）精密度：重复测量所得测量结果的离散程度。测量结果彼此非常接近，则精密度高；反之测量结果彼此差异较大，则精密度低。
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