发布时间 : 星期一 文章大学实验指导用书测量误差及数据处理更新完毕开始阅读03ed00d80975f46527d3e1a8
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（2）准确度：测量结果接近真值的程度。测量结果接近真值，准确度高；反之准确度低。
（3）精确度：综合反映离散程度和准确程度。如果一组测量值离散程度小、准确度高则精确度高；反之如果一组测量值离散程度大、准确度低则精确度低。
精密度、准确度、精确度客观地评价了一组测量量，例如图1-3(a)表示射击精密度高，但准确度欠佳；图1-3(b)表示准确度高，但精密度较差；图1-3(c)则表示精密度、准确度均较高，即精确度高。
要定量地对一组测量值进行评价，给出测量的最终结果，仅仅用精确度评价还是不够的，需要结合各类误差的分布特点，估算出待测物理量的真值和误差。 三、不确定度
在实际测量过程中，影响测量结果精确度的既有测量的系统误差，也有测量的随机误差， 我们需要分别估算它们的大小，然后进行误差的综合，用测量的精确度全面评价测量结果，
1981年10月第17届国际计量委员会大会通过决议，建议采用“不确定度”作为测量结果正确程度的评价。1991年8月国家计量监督局颁布的关于《测量误差及数据处理》技术规范中也明确提出“对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度平定的主要对象。”所谓不确定度，就是由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的程度，即具有一定置信概率的误差估值的绝对值。它是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。不确定度u应该包含两个方面：
（1）多次重复测量中用统计方法计算的A类不确定度，uA表示。
（2）用其他非统计方法估算的B类不确定度，例如仪器误差、未定系统误差的估值等，用uB表示。
最后将A、B两类不确定度合成后，用合成不确定度作为测量值正确程度的评价。应该指出，将误差分为A类、B类不确定度与将误差分为系统误差和随机误差，两者之间并不存在简单的对应关系。前者着重是否用统计方法计算来划分，后者则从误差产生的原因来区分。
§1.3 直接测量中真值和测量误差的估算
由于在大多数情况下无法求得待测物理量的真值，有（1-1）式定义的测量误差也就无法确定。下面我们将利用不确定度的概念，通过对误差的合理估算，得出待测物理量的真值和误差，并对这种估算的可信程度做出评价。 一、真值的估算
对物理量的测量可分为单次测量和多次测量。 1.单次测量
在外界条件不允许对一个物理量多次重复测量时，或者在某些情况下随机误差对测量的总影响不大，不必进行多次测量时，往往只作单次测量。例如测量一个作变加速运动质点的速度和加速度，测量气体节流膨胀过程中温度的变化等，这时单次测量值就作为真值的最佳估值。 2.多次测量
大部分测量值的随机误差服从正态分布。基于正态分布的对称性，对同一物理量多次重复测量时，测量值的平均能使正负误差相互抵消。当忽略系统误差或对测量值修正后，算术平均值就趋于真值。假设测量中对物理量x测量了n次，其测量值分别为x1、x2、x3?可以证明此时算术平均值x是待测物理量真值的最佳估值（数学期望值），即
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x???xi?1nin （1-2）
应该强调的是待测量的最佳估值并非就是真值a，仅仅是比测量值更加接近真值。只有修正了系统误差后无数次测量值的平均才等于真值，即
1na?lim?xi （1-3）
n??ni?1二、测量误差的估算
1．A类不确定度的估算
多次测量量往往呈现一定的离散性，A类不确定度就是对这类离散性做出评价。主要包含了随机误差、可以用统计规律估算的系统误差等。
当A类不确定度为正态分布时，测量值的离散程度可以用标准差?表示，根据标准差
的定义 ???(x?a)ii?1n2n （1-4）
由于在有限多次测量中，上式中的真值a无法确定。我们取多次测量得到的一组物理量
x1、x2、x3?为一组抽样值，在样本空间内可用算术平均值代替真值，则根据统计理论标
准差?的无偏估值s（简称标准偏差）为s??(x?x)ii?1n2n?1 （1-5）
标准偏差s是评估测量值离散程度的特征量。对一组测量值而言，标准偏差小表示该组测量值的离散程度低，测量值的精密度高；标准偏差大表示该组测量值的离散程度高，测量值的精密度低，如图1-4所示。但是应该注意，标准偏差s并不表示测量值与平均值的偏差，而只是对测量值离散程度的一种评估。从统计意义上讲，测量值落在(x?s,x?s)区间内的概率P?0.683，即测量值在算术平均值附近?s范围内的可能性为68.3%；落在(x?3s,x?3s)区间的内的概率P?0.9973，因此常常将3s称为A类极限误差。几乎所有测量值都不会超出真值最佳估值附近?3s范围。我们将标准偏差所表示的区间称为置信区间，相应的概率Pa称为置信度。
算术平均值作为真值的最佳估值依然有一定的离散
性，由于在计算待测量的算术平均值时，各测量量的随机误差相互抵消，因而算术平均值的离散程度要比测量值的离散程度小得多。为了研究算术平均值的离散程度，我们将算术平均值与真值的差称为残差。由于真值的不可确定，残差无法直接计算，只能根据正态分布的统计理论对残差进行估算。理论分析可以证明算术平均值残差的无偏估值sx为
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sx?s?n?(x?x)ii?1n2n(n?1) （1-6）
sx又称为算术平均值的标准偏差，算术平均值的标
准偏差是测量值标准差的1，这表明增加测量次数nn可以提高测量值的精度。如图1-5所示随着n的增大，标准偏差sx减小。当n>10时标准偏差sx的减小变得十
分缓慢，因此通常取6~10次测量次数为佳。测量次数过多，将会延长测量时间，增大环境或电源波动造成实
验误差的机会，而这时随机误差的减小已不明显。当然测量次数不同，将会得到不同的近似结果。
当随机误差服从正态分布时，取A类不确定度为
uA?sx(P?0.683)
uA?3sx(P?0.997) （1-7） uA?tasx(P?Pa)
ta是与分布律和置信度相关的参数。A类不确定度并不表示测量值与真值的差，标准偏
差sx也不是测量值与平均值的偏差，它已不是原来意义上的误差，而是对算术平均值偏离真值的一种评估，是不确定的程度。
根据A类不确定度（1-7）式可将测量结果表达为
x?x?tasx （1-8）
（1-8）式中的ta与误差的分布律和置信度有关。当测量次数较多时，随机误差呈正态分布。
ta=1时的置信度P?0.683，表示待测物理量算术平均值x偏离真值的范围不超过?sx的可
能性为68.3%；ta=3时的置信度P?0.9973，表示待测物理量算术平均值x偏离真值的范围不超过?3sx的可能性为99.73%。
对于不同的置信度Pa和测量次数n，可以通过查阅附表1-1求得参数ta。
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2.B类不确定度的估算
B类不确定度是指用非统计方法计算的误差分量，它通常是指仪器误差和一些特殊估测的极限误差。
所谓仪器误差是指在仪器规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器的指示数和被测量的真值之间可能产生的最大误差，通常用
表示。它由仪表制造厂商采用精确度更高的
测量仪表检测并考虑一定的误差余量后给出，它是仪表的一个重要指标。仪器误差通常用级别表示为
仪器误差=级别×量程
仪器误差的具体计算可查阅所用仪器量具的使用说明。仪器误差既包括随机误差，又包括系统误差，其性质在很大程度上取决于仪器的精度。对于精度级别较低的仪表（0.5级以下），仪器误差主要表现为系统误差；对于精度级别较高的仪表（0.2级以上），仪表误差主要表现接近随机误差。仪器误差是可能出现误差的极限值，无法确定误差的真实大小与符号，仍属于B类不确定度范畴。
在实验中由于实验条件的限制，或者由于没有在规定条件下使用仪器，无法保证仪器误差不大于出厂时给定的误差限值，例如弯曲的卷尺、电极的接触电势等，这时需要根据实际情况估计其误差限。对于一些低精度仪器无法确切地给出仪器误差，也常常取仪表量具的最小分度值或感量作为误差限。
仪器误差通常遵从的是均匀分布，如图1-6所示。对于一般的精密仪器，可以算出仪器的标准差为
?仪??仪3
图1-6
对于刻度式仪表，测量估算的不确定度Δ估常常小于仪器最小刻度的一半；对于数字式仪表，如果数字稳定，没有估算不确定度;如果数字跳动变化，记录其稳定表示的值。 三、实验中粗差的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有几种，有3?x准则、肖维准则、格拉布斯准则等。这里我们只介绍3?x准则。
统计理论表明，一般测量的误差出现在??x内的概率为68.3%，误差出现在?2?x内的概率为95.5%，而出现在 ?3?x区间内的概率为99.7%，而一般我们的测量次数又不是很多，故测量值误差超出?3?x区间的可能性极小，测量值的偏差超过3?x的概率已小于1％。因此，可以认为偏差超过3?x的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差?xi和标准偏差?x，把其
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