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大学物理实验指导书

4?2lg?2?987.2cm?s?2 T?g?Eg?g?2.2cm?s?2 结果表示:

?2??g?(987.2?2.2)cm?s ?

E?0.22%??g所有运算结果的有效数字位数均应由不确定度来决定,就是简单的四则混合运算也应遵循这一原则。如例1,应先求出?l?0.03cm(可疑位保留一位),然后再确定l的有效数字位数(小数后第二位可疑,因此,结果保留三位效数字);同样,如例2,先确定?g?2.2cm/s(可疑位保留两位),因此,结果保留五位有效数字(尾数对齐)。

2§1.6 有效数字及其运算

一、有效数字的概念

测量值是将待测物理量与标准量比较,但是比较值总是包含了系统误差、估读造成的随机误差和其他一些误差,因而测量值包含了准确数字和欠准数字。我们将准确数字和欠准数字总称为有效数字。

在大学物理实验和其他测量中,通常只取1位欠准数字,特殊情况下不超过2位欠准数字。在本书中我们采取只取1位欠准数字。因此有效数字由若干位准确数字和1位欠数字组成。有效数字不仅反映了待测量的大小,正确书写的有效数字还可以粗略地反映测量的精确程度。例如测量小于1cm物体的长度,采用不同的量具分别得到下列不同结果:

米尺:L=0.32cm 2位有效数字 游标卡尺:L=0.320cm 3位有效数字 螺旋测微计:L=0.3202cm 4位有效数字 有效数字与数学上的数字具有不同的含义,只有最高一位非零数字后的数字才是有效数字。例如0.0345m与3.45cm是一回事,都是3位有效数字;0.20m不等于200mm,因为前者准确到0.1m为2位有效数字,后者准确到10mm为3位有效数字。 二、有效数字的基本性质

1.十进制中有效数字的位数与单位换算无关

单位的换算并不会改变测量值的准确程度,例如4.63cm=46.3mm=0.0463m都是3位有效数字。

2.最高位非零数字前的“0”不是有效数字,而非零数字后的“0”都是有效数字

0.286为3位有效数字,0.2860为4位有效数字。末位的“0”反映了测量值的大小与精度,例如1.26cm表示测量量具的最小分度值为0.1cn(准确位),估读到0.01cm(误差位);1.260cm表示测量量具的最小分度值为0.01cm(准确位),估读到0.001cm(误差位),显然1.260cm的精度要比1.26cm的精度高。

3.数量较大或较小的数字采用科学记数法,以方便单位换算

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1.26cm=1.26×10m=1.260×10mm=1.260×10μm 科学记数法中一般小数点前只保留1位数字。例如

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4.600s=4.6×10ms 三、有效数字的规则

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1.直接测量量的读数规则

测量值的有效数字能够反映测量的精度,通常测量仪器的最小分度值与仪器的精度有一定的关联。对于可估读的仪器或量具应估读到最小分度的1/10,也可根据刻度的细密程度估读到最小分度的1/5~1/2;对于不可估读的量具如游标,应读到最小分度值。现在广泛使用的数字仪表,误差一般反映在末位的示值上,因而仪表上所显示的数字均为有效数字。 2.有效数字的修约规则

过去数字的修约采用“四舍五入法则”,但是这种修约规则在数字末位恰好等于5时进一位,这就使得数字修约时“进”的概率大于“舍”的概率,在数据处理时增加了截尾误差。因此现改用国家标准GB8017-87规定的数值修约法则“四舍六入五凑偶”。即小于5的数字舍,大于5的数字进,等于5则将尾数凑成偶数。例如:

2.375 取3位有效数字为2.38 3.645 取2位有效数字为3.6 3.645 取3位有效数字为3.64 3.64502 取3位有效数字为3.65 3.有效数字的运算规则 (1)有效数字的加减运算

不同有效位数的数相加减时,欠准数字与准确数字加减后仍然是欠准数字,最后结果只保留1位欠准数字。通常简化运算可以将参与运算的数字修约到与欠准数字末位数最高的数对齐,然后再运算。在加法运算时,运算结果有时会增加1位有效数字,而在减法运算时,运算结果有时会减少1位有效数字。 (2)有效数字的乘除运算

不同有效位数的数相乘除时,欠准数字与准确数字乘除后仍然是欠准数字,最后结果只保留1位欠准数字。通常简化运算可以将参与运算的数字修约到与有效数字位数最少的数相同,然后再运算。运算结果在数字相乘时,运算结果在数字相乘时,运算结果有时会增加1位有效数字;相除时,运算结果有时会减少1位有效数字。 (3)有效数字的乘方、开方运算

有效数字的乘方、开方运算,在乘方、开方次数不太高时,其结果的有效数字位数不变。但当乘方、开方次数增大时,开方运算的结果有效数字位数会减小,乘方运算的有效数字位数会增大。 (4)函数运算

对数函数运算后的有效数字看小数点后的位数,它的位数与真数位数相同。 lg1.855=0.2753 lg1855=3.2753

指数函数运算后的有效数字位数与指数小数部分的位数(包含零)相同。

6.256

10=1.8×10 0.0045

10=1.010

三角函数的有效数字位数与角度有关。 (5)其他

常数的有效数字位数通常比测量值多取1位 。运算中间结果的有效数字应多保留1位。有效数字的简化运算可以在手工计算时节约时间,但同时也会增加截位误差。实际上实验的数值运算通常由计算机完成,因此往往将数字不经修约地直接由计算机求得最终结果。因为根据约定最终结果只包含1位欠准数字,误差(或不确定度)也只取1位有效数字的原则,由末位对齐原则可确定最终结果的欠准位。

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§1.7 数据处理的基本方法

实验中获得了大量的测量数据,实验人员需要对实验数据进行记录、整理、计算与分析,从而寻找出测量对象的内在规律,正确地给出实验结果,这就需要学会正确的数据处理方法。所以说,数据处理是实验工作不可缺少的一部分。数据处理的方法很多,这里将介绍列表法、图示法、图解法、逐差法等。 一、列表法

对一个物理量进行多次测量,或者测量几个量之间的函数关系,往往借助于列表法把实验数据列成表格。它的好处是简单、方便,,使大量数据表达清晰醒目,条理化,易于检查数据和发现问题,避免差错,同时有助于反映出物理量之间的对应关系。但要进行深入的分析,表格就不能胜任了。它对数据变化的趋势不如图解法明了和直观,但列表法是图示法和经验公式法的基础。列表格没有统一的格式,但在设计表格时要求能充分反映上述特点,因此要注意以下各点。

(1)各栏目均应标明物理量的名称和单位(用SI单位的国际符号字母表示)。单位应写在标题栏中,一般不要重复地记在各数字后面。 (2)列入表中的主要应是原始数据,计算过程中的一些中间结果和最后结果也可列入表中,但应写出计算公式,从表格中要尽量使人看到数据处理的方法和思路,而不能把列表变成简单的数据堆积;对原始数据不应随便涂改,确实需要修改时,也应该将原来的数据画条杠以备查。

(3)栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序,力求简明、齐全、有条理。 (4)反映测量值函数关系的数据表格,应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。 如测一电阻丝在不同温度下的电阻值的测量数据,如下表所示:

二、图示法

物理规律既可以用解析函数关系表示,也可以借助图线表示。工程师和科学家一般对定量的图线最感兴趣,因为定量图线形象直观,使人看了一目了然。它不仅可以简明地显示物理量之间的相互关系、变换趋势,而且可以方便地找出函数的极大值、极小值、转折点、周期性和其他奇异性。尤其是对那些尚未找到适当的解析函数表达式的实验结果,可以从所画出的图线中去寻找相应的经验公式。

作图并不复杂,但对许多同学而言,在开始时却是一种困难的科学技巧。这是由于他们缺乏作图的基本训练,而在思想上对作图又不够重视所致。只要认真对待,遵循作图的规则,进行一段时间的训练,是完全可以绘制出合格的图线的。

制作一幅完整而正确的图线,其基本步骤主要有:图纸的选择;坐标的分度和标记;标点;作出一条与许多实验点基本相符合的图线,以及注解和说明等。 1、图纸的选择

作图纸有直角坐标纸(即毫米方格纸)、对数坐标纸、半对数坐标纸和极坐标纸等几种,根据作图需要进行选择,在物理实验中比较常用的是毫米方格纸(每厘米为一大格,其中又分成10小格)。由于图线中直线最易画,而且直线方程的2个参数——斜率和截距也较易算得,所以对于2个变量之间的函数关系是非线性的情况,如果它们之间的函数关系是已知的或者准备用某种关系式去拟合曲线时,尽可能通过变量变换将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。常见的几种变换方法有如下。

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①PV=C(C为常数),令u?1,则P=Cu。可见P与 u为线性关系。 Vl4?22l2②T?2?,令y=T ,则y?4?。y与l为线性关系,斜率为。

ggg③y=ax,式中a和b为常数。等式两边取对数,得lgy=lga+blgx。于是,lgy与

blgx为线性关系,b为斜率,lga为截距。

2、坐标比例的选取与标度

“合理选轴,正确分度”,往往是图线作得好坏的关键。作图时通常以自变量作横坐标(x轴),以因变量作纵坐标(y轴),并标明坐标轴所代表的物理量(或相应的符号)及单位。坐标比例的选取,原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的。若坐标比例选的不适当时,过小会损害数据的准确度;若过大会夸大数据的准确度,并且使点过于分散,对确定图的位置造成困难。对于直线,其倾斜度最好在40°~60°之间,以免图线偏于一方。坐标比例的选取应以便于读数为原则,常用比例为1∶1,1∶2,1∶5(包括1∶0.1,1∶10,?)等,切勿采用复杂的比例关系,如1∶3,1∶7,1∶9,1∶11,1∶13等。这样不但绘图不便,而且读数也困难和易出差错。纵横坐标的比例可以不同,而且标度也不一定从零开始。可以用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点,用大于实验数据最高值的某一数作为终点,这样图纸就能被充分利用。坐标轴上每隔一定间距(如2~5cm)应均匀地标出分度值,标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同。 3、数据点的标出

实验数据点用“+”符号标出,符号的交点正是数据点的位置。同一图纸上如有几条实验曲线,各条曲线的数据点可用不同的符号(如×,?,?等)标出,以示区别。 4、曲线的描绘

由实验数据点描绘出平滑的实验曲线,连线要用透明直尺或三角板、曲线板等连接,要尽可能使所描绘的曲线通过较多的测量点。对那些严重偏离曲线的个别点,应检查标点是否错误,若没有错误,在连线时可舍去不予考虑。其他不在图线上的点,应均匀分布在曲线的两旁。对于仪器仪表的校正曲线和定标曲线,连接时应将相邻的两点连成直线,整个曲线呈折线形状。

5、注释和说明

在图纸上要写明图线的名称、作图者姓名、日期以及必要的简单说明(如实验条件、温度、压力等)。直线图解首先是求出斜率和截距,进而得出完整的线性方程。其步骤如下。

①选点。用两点法,因为直线不一定通过原点,所以不能采用一点法。在直线上取相距较远的两点A(x1 ,y1)和B(x2 , y2)(此两点不一定是实验数据点),用与实验数据点不同的记号表示,在记号旁注明其坐标值。如果所选两点相距过近,计算斜率时会减少有效数字的位数。不能在实验数据范围以外选点,因为它已无实验依据。

②求斜率。直线方程为y?a?bx,将A和B两点坐标值代入,便可计算出斜率。即

b?x2?y1。

x2?x1 16