发布时间 : 星期四 文章《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点更新完毕开始阅读04322e3d001ca300a6c30c22590102020740f204
2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。
3. （6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。
4.（8分）设函数列fn(x) (n?1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x)。
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5.（8分）设f(x)在E??a,b?上可积，则对任何??0，必存在E上的连续函数?(x)，使?|f(x)??(x)|dx??.
ab
试卷二（参考答案及评分标准）
一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A 二、1，?0,2? 2，c ；0 ；? 3， ?
4，设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意??0，存在闭子集E??E，使得f(x)在E?上是连续函数，且m(E\\E?)??。
5，对任意??0,???0，使对?a,b?中互不相交的任意有限个开区间
?ai,bi?,i?1,2,,n,只要??bi?ai???，就有?|F(bi)?F(ai)|??
i?1i?1nn三、1．错误……………………………………………………2分
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??(0)?r1??(1)?r?记(0,1)中有理数全体R?{r,}?21,r2(r
??n)?rn?2,n?1,2???(x)?x,x为[0，1]中无理数，显然?是[01]，到（0，1）上的1?1映射。……………………………5分 2．正确……………………………………………………………2分 ?设E*?i为零测度集， 0?m*?(E*i)?Ei)?0
i?1?mE?0，所以，m(i?1i?1?因此，
Ei是零测度集。………………………………………5分
i?13．错误……………………………………………………………2分
例如：取E?(0,??),作函数列：f)???1,x?(0,n]n(x?0,x?(n,??)n?1,2,
显然fn(x)?1,当x?E。但当0???1时，E[|fn?1|??]?(n,??) 且m(n,??)???这说明fn(x)不测度收敛到1.………………5分 4．错误…………………………………………………………2分
?例如：f(x)???xcos?,0?x?1,显然是?2x?0,1?的连续函数。 ?0,x?0.如果对?0,1?取分划T:0?12n?12n?1??13?12?1，则容易证明 ?2nn|f(xf(x11i)?i?1)|?1?，从而得到V(f)??…………………5分 i?i?1i0四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续， 即不连续点为正测度集………………………………………3分 因为f(x)是有界可测函数，所以f(x)在
?0,1?上是L?的…………………………………. …………………………….6分
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可积
11因为f(x)与xa.e.相等, 进一步，??0,1?f(x)dx??0xdx?2……8分 2设
fn(x)?nx1?n2x2sin3nxdx，则易知当n??时fn(x?)…………………………………………………………2分 又|fnxn(x)|?1?n2x2………………………………………………4分
但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的……………6分 故有lim??f?n0n(x)dx??0limnfn(x)dx?0…………………………8分
五、1．?x?E,f(x)?c………………………………………..1分
f(x)在x点连续，?对??f(x)?c?0,?U(x,?),当y?U(x,?)时，
有f(y)?f(x)??…………………………………………3分 ??f(x)?c?f(y)?f(x)?f(x)?c?f(y)?c，?y?E……5分 因此U(x,?)?E，从而E为开集………………………………..6分 2．对任何正整数
n，由条件存在开集Gn?E,m*(G1n?E)?n……………………………………………………1分 ?令G?Gn，则G是可测集…………………………………3分
n?1又因m*(G?E)?m*(G1n?E)?n对一切正整数n成立，因而m*(G?E)?0，M?G?E是一零测度集，所以也测.…………………………………………………………………5分
由E?G?(G?E)知，E可测。…………………………………6分 x3、易知g(x)?V(f)是?a,b?上的增函数………………………2分
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，
使
即可