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丰台区2019届高三一模数学(理)试题和答案(word版)
丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（一）
高三数学（理科）答案
2019．03
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 题号 答案 A C D 4 A 5 B 6 A 7 B 8 C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分） 9．6 10．12 11． ?3 12．4 13．?；?三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）
解：（Ⅰ）f(x)?cos(2x?)?2sin2x?a
? 14．2；1 6?313?cos2x?sin2x?cos2x?1?a 2233?cos2x?sin2x?1?a 2231?3(cos2x?sin2x)?1?a
22??3sin(2x?)?1?a.
3?3所以 a?1.
因为 f()?0,
ππ（Ⅱ）解法1：因为 函数y?sinx的增区间为[2kπ?,2kπ?],k?Z.
22πππ由2kπ?≤2x?≤2kπ?，k?Z，
232所以 kπ?5ππ≤x≤kπ?，k?Z. 12125ππ,kπ?]，k?Z. 1212因为 函数f(x)在[0,m]上是单调函数， 所以 函数f(x)的单调递增区间为[kπ??. 12
所以 m的最大值为
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解法2：因为x?[0,m]，
π?π所以≤2x?≤2m?.
333ππ因为 [?,]是函数y?sinx的增区间，
22?π所以 2m?≤.
32所以 m≤π. 12?. 12所以 m的最大值为
16．（共13分） 解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A.
因为 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，
所以 P(A)?2. 523，低于8500元的概率为， 55（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为
2539P(X?0)?()2?；
52523121P(X?1)?C2???；
5525242. P(X?2)?C2?()2?525所以随机变量X的分布列为： 0 1 P 912 X 252524 所以X的数学期望为E(X)?2??.
55所以X~B(2,).
22（Ⅲ）s1?s2 .
2 4 25
17.（共14分） 解：（Ⅰ）因为 平面ABCD?平面ABB1A1，平面ABCDI平面ABB1A1?AB，AB?BC，
BC?平面ABCD， 所以 BC?平面ABB1A1. zC因为 AA1?平面ABB1A1，
所以 BC?AA1.
（Ⅱ）取A1B1的中点N，连结BN.
平行四边形ABB1A1中AB?AA1，?BAA1?60?.易证
xC1D1B1NA1yDBAM10 / 1410
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BN?A1B1.
由（Ⅰ）知BC?平面ABB1A1.
，BN，BC所在直线为坐标轴， 故以为B原点，BA建立如图所示空间直角坐标系B?xyz. 依题意，A(2,0,0),A1(1,3,0),D(1,0,1)， 设平面DAA1的一个法向量为n?(x,y,z) uuuruuur,0，AD?(?1,0,1) 则AA1?(?1，3，）uuur???n?AA1?0??x?3y?0r则?uuu， 即?，
?x?z?0????n?AD?0令y=1，得n=(3,1,3)．
易知平面ABB1A1的一个法向量为m=(0,0,1)，
设二面角D?AA1?B的平面角为α，可知?为锐角，
则cos??cos?n,m??n?m321??， n?m73?1?321． 7uuuuruuuur（Ⅲ）解：设DM??DB1，??[0,1]，M(x,y,z)．
即二面角D?AA1?B的余弦值为
因为D(1,0,1)，B1(?1,3,0)，C(0,0,1)， 所以x?1?2?,y?uuuuruuuur所以DB1?(?2,3,?1),DM?(x?1,y,z?1)
3?,z?1??.
M(1?2?,3?,1??) uuuurCM?(1?2?,3?,??) 因为CM∥平面DAA1
uuuur所以CM?n=0
即3(1?2?)?3??3??0，所以λ=1． 2DM1?． DB12所以存在点M，使得CM∥平面DAA1，此时
18.（共13分）
x解：（Ⅰ）因为a?0，x?R所以f(x)?(x?2)e，
x故f?(x)?(x?1)e，
令f?(x)?0，得x?1，所以单调递增区间为(1,??)； 令f?(x)?0，得x?1，所以单调递区间为(??,1)．
x（Ⅱ）由题可得f?(x)?(x?1)(e?ax).
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① 当a≤0时，对任意x?(0,+?)，都有ex?ax?0恒成立， 所以当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0. 所以函数f(x)在x?1处取得极小值，符合题意.
x② 当0?a≤e时，设g(x)=e?ax，依然取x?(0,+?).
x则g?(x)=e?a，令g?(x)=0，得x=lna，
所以g(x)在(0,lna)上单调递减，在区间(lna,??)上单调递增， 所以g(x)min?g(lna)?a(1?lna).
因为0?a≤e，所以g(x)min?a(1?lna)≥0（当且仅当a=e时，等号成立，此时x?1）. 所以对任意x?(0,1)U(1,??)，都有ex?ax?0恒成立. 所以当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0. 所以函数f(x)在x?1处取得极小值，符合题意.
综上①②可知：当a≤e时x?1是函数f(x)的极小值点.
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得2=4p ，解得p?1．
所以抛物线C的准线方程为x??2?y12??y2? （Ⅱ）设A?,y1?,B?,y2?，
?2??2?2p1?? ． 22 由AB∥OM得kAB?kOM?1，则
y2?y12??1，所以y2?y1?2． 2y2y12y2?y1?22所以线段AB中点Q的为纵坐标yQ?1．
直线AO方程为y?y12x?x┅① y12y1212 / 1412