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第三讲 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
学习目标：
? 理解多元线性回归模型的基本表达形式
? 理解多元线性回归模型的基本假设，并比较与一元线性回归模型的基本假设 ? 掌握多元线性回归模型参数估计的普通最小二乘法 ? 掌握多元线性回归模型的统计学检验并理解其作用和意义
——拟合优度检验（调整的可决系数、赤池信息准则和施瓦茨准则） ——方程总体线性的显著性检验（F检验） ——变量的显著性检验（t检验） ? 理解多元线性回归模型的预测问题
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型的一般形式
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 Yi??0??1X1i??2X2i??????kXki??i其中：k为解释变量的数目，?j称为回归系数；?j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化; 或者说?j给出了X j的单位变化对Y均值的“直接”或“净（”不含其他变量）影响。
习惯上：把常数项看成一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是，模型中解释变量的数目为（k+1） 练习题：
?＝356?1.5X，1. 产量（X，台）与单位产品成本（Y，元/台）之间的回归方程为Y这说明__________。
A 产量每增加一台，单位产品成本增加356元 B 产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元 C 产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元 D 产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元
2. 在二元线性回归模型Yi??0??1X1i??2X2i?ui中，?1表示_________。 A 当X2不变时，X1每变动一个单位Y的平均变动。 B 当X1不变时，X2每变动一个单位Y的平均变动。 C 当X1和X2都保持不变时，Y的平均变动。 D 当X1和X2都变动一个单位时，Y的平均变动。
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1. 回归模型是正确设定的；模型没有设定偏误（specification error）； 假设2. 解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）；
假设3. 解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一个非零的有限常数。避免伪回归问题（spurious regression problem）；
假设4. 随机误差项?具有零均值、同方差和不序列相关性： E(?i)=0 i=1,2, …,n Var (?i)=?2 i=1,2, …,n Cov(?i, ?j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设5. 随机误差项?与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, ?i)=0 i=1,2, …,n 假设6. ?服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 ?i~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n
§3.2 多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计（了解） *三、矩估计 （了解） 四、样本容量问题
1. 最小样本容量
所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大似然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。
样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即 n ≥ k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1
2. 满足基本要求的样本容量 ? 从统计检验的角度： n?30 时，Z检验才能应用； n-k≥8时, t分布较为稳定
? 一般经验认为:
当n≥30或者至少n≥3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明
五、估计实例
建立中国城镇居民人均消费支出的多元线性回归模型
? ?
被解释变量：地区城镇居民人均消费CONSU 解释变量：
——地区城镇居民人均可支配收入INCOU ——前一年地区城镇居民人均消费CONSU1 样本：2006年，31个地区
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§3.3 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验
1．可决系数与调整的可决系数
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。—— 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:
R2?1?RSS/(n?k?1)TSS/(n?1)
其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 *2．赤池信息准则和施瓦茨准则
为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有：
赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。
二、方程的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在
总体上是否显著成立作出推断。
? 方程显著性的F检验 ——即检验模型
Yi=?0+?1X1i+?2X2i+ ? +?kXki+?i i=1,2, ?,n 中的参数?j是否显著不为0。
（1）提出如下原假设与备择假设：
H0： ?1=?2= ? =?k=0
H1： ?j不全为0 （j=1,2,…,k）
（2）F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS
?i2是解释变量X的联合体对被解由于回归平方和ESS??y释变量Y的线性作用的结果，考虑比值 ESS/RSS???e?y2i2i
如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。
因此，可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量
F?ESS/kRSS/(n?k?1)服从自由度为(k , n-k-1)的F分布。
给定显著性水平?，可得到临界值F?(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过
F? F?(k,n-k-1) 或 F≤F?(k,n-k-1)
来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。
三、变量的显著性检验（t检验）
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方程的总体线性关系显著?每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
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