发布时间 : 星期六 文章极坐标高考题的几种常见题型[1]更新完毕开始阅读04bac86a53ea551810a6f524ccbff121dc36c558
高考链接极坐标高考题的几种常见题型
和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题.
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.
??2?x2?y2?x??cos??互化公式：? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?． (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．所以x2?y2?4x． 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程．
?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得，? ?2y?0y??2?1?2?x?y?4y?0即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．
?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐2x?y?4y?0?标方程为y=－x．
评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法.
8sin?例2(2003全国)圆锥曲线??的准线方程是
cos2? (A)?cos???2 (B)?cos??2 (C) ?sin???2 (D) ?sin??2 解: 由??8sin?222?去分母后两边同时乘以得:,所以x=8y ,其?cos??8?sin?2cos?第 1 页 共 6 页
准线方程为y=?2,在极坐标系中方程为?sin???2,故选C.
例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴
?3?建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此
22椭圆的直角坐标方程是_______________.
解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,
x2y2? 故所求椭圆的直角坐标方程为=1 34评述：点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的 互化要熟练掌握.
类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且
1在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是?2?,则它24cos??1的直角坐标方程是___________. (答案:3x2-y2=1) 2(1998年全国)曲线的极坐标方程?=4sin?化成直角坐标方程为 (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4
(C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 (答案:B)
?x?sec?3(2002北京)已知某曲线的参数方程是?(?为参数)若以原点为极点,x轴
?y?tan?的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是
(A)??1 (B)?cos2??1 (C)?2sin2??1 (D) ?2cos2??1 (答案:D)
二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型
常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性: 1、直线的极坐标方程(a>0)
(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:?=α;
(2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:?cos?=a; (3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:?sin?=a; (4)不过极点,和极轴成?角,到极点距离为a的直线的极坐标方程: ?sin(α-θ)=a. 2、圆的极坐标方程(a>0)
(1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: ?=a;
(2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: ?=2acos?; (3)圆心在(a,?),半径为a的圆的极坐标方程: ?=?2acos?;
? (4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: ?=2asin?;
23? (5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: ?=?2asin?;
2 (6)圆心在(a, ?0),半径为a的圆的极坐标方程: ?=2acos(?-?0). 3、极坐标系中的旋转不变性:
曲线f(?,?+?)=0是将曲线f(?,?)=0绕极点旋转|?|角(??0时,按顺
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时针方向旋转,??0时,按逆时针方向旋转)而得到.
?例4(1990年全国)极坐标方程4?sin2=5所表示的曲线是
2 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解:由已知极坐标方程及三角公式得:2?(1-cos?)=5,
∴2?=2?cos?+5,由互化公式得2x2?y2=2x+5,平方整理得
5 y2=5(x+),方程表示的曲线是抛物线,故选D.
4评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型.
类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2?=3表示的曲线是
(A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987年全国)极坐标方程?=sin?+2cos?所表示的曲线是
(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 3(2001年广东、河南)极坐标方程?2cos2?=1所表示的曲线是
(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D)
4(2003北京)极坐标方程?2cos2??2?cos??1表示的曲线是 (A)圆
(B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)
?例5(1994年全国)极坐标方程?=cos(-?)所表示的曲线是
4 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆
?? 解:曲线?=cos(-?)=cos(?-)是把圆?=cos?绕极点按逆时针方向旋
44? 转而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D
4评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易
|a|得出答案.方程?cos(?-?0)=0表示一条直线,方程?=acos(?-?0)表示半径为,
2|a| 圆心为(,?0)的圆,要注意两者的区别.
2?例6(2001年全国)极坐标方程?=2sin(?+)的图形是
4x 0 x 0 1 1 x 1 1 x 0 0 (A) (B) (C) (D)
??解:圆?=2sin(?+)是把圆?=2sin?绕极点按顺时针方向旋转而得,圆心的极
44?坐标为(1,),故选C.
4
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1类题:1(2002江苏)极坐标方程??cos?与?cos?=的图形是
2
x x
0 12 0 12
0 12x x 0 12
(A) (B) (C) (D)
(答案:B) 2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(2,?)且过极点的圆的方程为
(A) ??22cos? (B)???22cos? (C)??22sin? (D)???22sin?
(答案:B)
三、判断曲线位置关系
例7(2000年京皖春)直线?=?和直线?sin(?-?)=1的位置关系
(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合
解:直线?sin(?-?)=1是把直线?sin?=1绕极点按逆时针方向旋转?角 而得, 从而两直线平行,故选B.
评注:对直线?sin(?-?)=1与直线?sin?=1的关系要十分熟悉. 四、根据条件求直线和圆的极坐标方程
例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是?=4cos?+6sin?，那么
过圆心且与极轴平行的直线方程是
(A) ?sin?=3 (B) ?sin? = –3 (C) ?cos? =2 (D) ?cos? = –2
解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13. 圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即?sin?=3,故选A. 评述:注意直线的直角坐标方程极易求出.
类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆?=4sin?相切的一条直线的方程是 (A) ?sin?=2 (B)?cos?=2 (C)?cos?= 4 (D) ?cos?=- 4(答案:B)
? 2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐
2标方程是_______. (答案: ?sin?=2) 3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,?),那么过点P且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为
11 (A)?=1 (B)?=cos? (C)?=? (D)?= (答案:C)
cos?cos? 4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是
?? (A)?=2cos(?-) (B)?=2sin(?-) (C)?=2cos(?-1) (D)?=2sin(?-1)
44 (答案:C) 五、求曲线中点的极坐标
?例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线?cos???sin??0上
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