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信号与系统第三版课后答案燕庆明
【篇一：信号与系统课后习题】
t)?tf(t?td),tf(t?t0)?yf(t?t0)?,yf(t?t0)?
(t?t0)f(t?t0)。 (3)令g(t)?f(t?t0)，t[g(t)]?g(?t)?f(?t?t0)，tf(t?t0)? yf(t?t0)，yf(t?t0)?f(?t?t0)
1.2.已知某系统输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)?f(t)判断该系统是否为线性时不变系统？解:设t为系统运算子，则y(t)可以表示为y(t)?t[f(t)]?f(t),不失一般性，设
f(t)?f1(t)?f2(t)t[f1(t)]?f1(t)?y1(t),t[f(t)]?f1(t)?f2(t)?y(t),显然其不相等，即为非线性时不变系统。 df(t)t
??f(x)dx(2):[y(t)]2?y(t)?f(t) 1.3判断下列方程所表示系统的性(1):y(t)? 0dt
（3）：y(t)?2y(t)?3y(t)?f(t)?f(t?2)（4）：y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t) 线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变
1.4。试证明方程y(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。
证明：不失一般性，设输入有两个分量，且f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t) 则有y1(t)+ay1(t)=f1（t)，y2(t)+ay2(t)=f2(t) 相加得y1+ay1(t)+y2(t)+ay2(t)=f1(t)+f2(t) 即 d
[y1(t)+y2(t)]+a[y1(t)+y2(t)] dt
=f1(t)+f2(t）可见f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 1.5。证明1.4满足时不变性。
证明 将方程中的t换为t-t0,t0为常数。即y(t-t0)+ay(t-t0)=f(t-t0) 由链导发则，有 dy(t?t0) ? dt
d(t?t0)dy(t?t0)d(t?t0)dy(t?t0)dy(t?t0)
?1从而又因t0为常数，故所以有 ??dtd(t?t0)dtdtd(t?t0) dy(t?t0)
?ay(t?t0)?f(t?t0)即满足时不变性f(t-t0)→y(t-t0) dt y(t)?y(t?t0)f(t)?f(t??t)?所以 ?t?t
limf(t)?f(t??t)limy(t)?f(t?t0)
既有 f(t)?y(t) ? ?t?0?t?0?t?t
1.7 若有线性时不变系统的方程为y(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e-t,试求方程y(t)+ay(t)=2f(t)+f(t)的响应。
解：因为f(t)→y(t)=1-e-t,又线性关系，则2f(t)→2y(t)=2(1-e-t) 又线性系统的微分特性，有 f(t)→y(t)=e-t 故响应 2f(t)+f(t)→y(t)=2(1-e-t)+e-t=2-e-t 计算：
2.1设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b) f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )]
2-2 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。 解(a) f( t ) = ?( t ) ? 2?( t ?1 ) + ?( t ?2 )(b) f( t ) = ?( t ) + 2?( t ?t ) + 3?( t ?2t )
2-5 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f? ( t )的表达式，对(b)写出f? ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。 解 (a) 1,2 0?t?2
f? ( t ) = ?( t ? 2 )， t = 2?2?( t ? 4 )， t = 4 (b) f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 ) 2.6.化简下列信号：
(a)f(t)?(t?3)?f(3)?(t?3);(b)?(t)?sint??(t)??(t)(c)2e?2t??t??2??t?;(d)cost???t????t?
2-7 试计算下列结果。(1) t?( t ? 1 ) (2) ?cos(?t?)?(t)dt (3) 0? 3 ? ? 0? 0?
e?3t?(?t)dt (4) ? ? ??
t?(t?1)dt (5)? ? ??
t?( t ? 1 )dt (6) ??t
?1 2 2
?t???t?3?dt(7) 2?????d? ?? t
cos(?t?)?(t)dt?cos(?)?(t)dt?解 (1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 ) (2)? ?0?0?
332??0?0?0? ?3t?3t
(3)?e?(?t)dt??e?(t)dt???(t)dt?1 (4) ?t?(t?1)dt???(t?1)dt?1 ?
0?0?0? ???? (5) ? ? ??
t?( t ? 1 )dt= ? ? ??
?( t ? 1 )dt=1 (6)=0(7)=2? ?t?
3-1如图2-1所示系统，试以uc( t )为输出列出其微分方程。 解 由图示，有 ucdu1t
?cc又il??(us?uc)dt故 l0rdt u?1
??从而得 (us?uc)?c?cuc lr
111??(t)??(t)?ucucuc(t)?us(t) rclclcil?
3-3 设有二阶系统方程y??(t)?4y?(t)?4y(t)?0在某起始状态下的0+起始值为
y(0?)?1,y?(0?)?2试求零输入响应。
解 由特征方程?2 + 4? + 4 =0得 ?1 = ?2 = ?2则零输入响应形式为yzi(t)?(a1?a2t)e由于yzi( 0+ ) = a1 = 1 ?2a1 + a2 = 2所以a2 = 4故有yzi(t)?(1?4t)e ?2t ?2t ,t?0
3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和ul，对(b)求冲激响应uc和ic，并画出它们的波形。 解 由图(a)有 didir1
?us(t)?ri即?i?us(
t)当us( t ) = ?( t )，则冲激响应 dtdtll rr1?ltdir?lt
h(t)?i(t)?e??(t)则电压冲激响应h(t)?ul(t)?l??(t)?e??(t) ldtll
对于图(b)rc电路，有方程 c
ducu11
???is?c即ucuc?is当is = ?( t )时，则 dtrrcc tt
duc1?rc1?rc
h(t)?uc(t)?e??(t)同时，电流ic?c??(t)?e??(t) dtrcc
3-5 设有一阶系统方程y?(t)?3y(t)?f?(t)?f(t)试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。 解 因方程的特征根? = ?3，故有x1(t)?e?3t??(t)当h( t ) = ?( t )时，则冲激响应 h(t)?x1(t)?[??(t)??(t)]??(t)?2e?3t??(t)阶跃响应 t1
s(t)??h(?)d??(1?2e?3t)?(t) 03
3.6lti系统的冲激响应如图(a),若输入信号f(t)如图（b)所示三角波，求零状态响应？本题用图形扫描计算卷积即y(t)?h(t)?f(t)?0(t?0),??d?,(0?t?1), 01 ? 1
t?22