发布时间 : 星期一 文章2019年高考数学一轮复习（热点难点）专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式更新完毕开始阅读05c3987b846a561252d380eb6294dd88d1d23d27
备战2019年高考数学一轮复习（热点难点）专题36 到底你要放缩
到什么程度：放缩法证明数列不等式
考纲要求:
1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质： 2、掌握放缩的技巧与方法. 基础知识回顾: 放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：Sn?② 等比数列求和公式：Sn?a1?an ?n，an?kn?m（关于n的一次函数或常值函数）
2a1?qn?1?q?1?q?1?，an?k?qn（关于n的指数类函数）
③ 错位相减：通项公式为“等差?等比”的形式
④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“Sn?常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要
满足q??0,1? ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为
a1的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公1?q12式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数=2，即
31?1411?1?可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为2??? 。
24?4?注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即an?1?an?f?n?或
nan?1?f?n?（累乘时要求不等式两侧an均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为an，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:
类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列?an?的前n项和Sn满足：
Sn?t(Sn?an?1)（t为常数，且t?0，t?1）．
（1）求?an?的通项公式；
（2）设bn?an?Sn?an，若数列?bn?为等比数列，求t的值；
2（3）在满足条件（2）的情形下，设cn?4an?1，数列?cn?的前n项和为Tn，若不等式
12k?2n?7对任意的n?N*恒成立，求实数k的取值范围．
4?n?Tnan?tnt?（2）
【答案】（1）
11k?2（3）32
t(1?tn)nt2n?tn?1?2t2n?1bn?(t)??tbn?1?t1?t（2）由（1）知，，即，
n2bn?b22?b1?b3?若数列为等比数列，则有，
而
b1?2t23，
b2?t3(2t?1)224，
b3?t4(2t2?t?1)，
?t(2t?1)???(2t)?t(2t?t?1)，解得故?2t?12，
t?再将
11b?()n2代入bn，得2，
例2.记U??1,2,若T??t1,t2,若T??，定义ST?0；,100?.对数列?an??n?N*?和U的子集T，
,tk?，定义ST?at?at?12?atk.例如：T=?1,3,66?时，ST?a1?a3+a66.
现设?an?n?N*是公比为3的等比数列，且当T=?2,4?时，ST=30.
an??（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数（3）设
??k?1?k?100?，若
T??1,2,SC?SC,k?D，求证：
.
ST?ak?1
；
C?U,D?U,SC?SD，求证：
?2SD
【答案】（1）an?3n?1（2）详见解析（3）详见解析 【解析】
试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设A?痧C(C因
此
D),B?大
项
D(CD),，则AB??,因此由SC?SD?SA?SB，
在
AB中最必A中，由（2）得