发布时间 : 星期日 文章2020年北京市西城区中考数学一模试卷(解析版)更新完毕开始阅读05f8b07cb6daa58da0116c175f0e7cd18525187e
若PQ＝PA，则∴
＝
＝1，
＝1，
∴MN＝MA，
∴2+﹣1＝3，解得k＝1， ∵MA＝3， ∴当
＝
≤1时，k≥1，
∴m＝3k≥3，
∴当PQ≤PA时，m≥3．
26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围． 【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣的表达式，即可求解；
（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解； （3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交
，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线
点在x轴的下方，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣解得：b＝2a，
故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2， 将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+； 令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1， 故点B的坐标为：（1，0）；
（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2， 点C在第三象限，即点C在点A的下方，
即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1， 而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1， 故﹣1＜x2＜0；
（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴点D（﹣1，0），
∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个， ∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，
，
∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个， 则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0， 解得：a＜﹣2，
故a的取值范围为：a＜﹣2．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N． （1）依题意补全图1； （2）求证：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图1即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；
（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示； （2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°， ∴AP＝AQ， ∴∠APQ＝∠Q， ∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°， ∴∠Q＝∠BFC，
∵∠MFN＝∠BFC， ∴∠MFN＝∠Q， 同理，∠NMF＝∠APQ， ∴∠MFN＝∠FMN， ∴NM＝NF； （3）连接CE， ∵AC⊥PQ，PC＝CQ， ∴AP＝AQ， ∴∠PAC＝∠QAC， ∵BD⊥AQ，
∴∠DBQ+∠Q＝90°， ∵∠Q+∠CAQ＝90°， ∴∠CAQ＝∠QBD， ∴∠PAC＝∠FBC，
∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF， ∴△APC≌△BFC（AAS）， ∴CP＝CF， ∵AM＝CP， ∴AM＝CF，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE， ∵AC＝BC，
∴直线CE垂直平分AB， ∴∠ECB＝∠ECA＝45°， ∴∠GAM＝∠ECF＝45°， ∵∠AMG＝∠CFE， ∴△AGM≌△CEF（ASA）， ∴GM＝EF，
∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，