发布时间 : 星期一 文章2020年浙江高考数学一轮复习：抛物线更新完毕开始阅读06337edfe418964bcf84b9d528ea81c759f52e32
第八节抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px 标准方程 (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径 (其中P(x0，y0)) [小题体验] 1
1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为
4________，实数a的值为________．
1110，?，抛物线C的方程可化为x2＝y，由题意得－＝解析：由题意得焦点坐标为??4?a4a
p|PF|＝x0＋ 2px＝－ 2x≥0，y∈R 向右 p?F??2，0? y＝0 p－，0? F??2?e＝1 px＝ 2x≤0，y∈R 向左 |PF|＝ p－x0＋ 2py＝－ 2y≥0，x∈R 向上 p|PF|＝y0＋ 2py＝ 2y≤0，x∈R 向下 p|PF|＝－y0＋ 2p0，? F??2? O(0,0) x＝0 p0，－? F?2?? 1
－，解得a＝1. 4
1
0，? 1 答案：??4?2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 答案：y2＝－4x或x2＝－8y
3．(教材习题改编)抛物线y＝4x2的焦点坐标为__________；准线方程为____________． 111
0，?，准线方程为y＝－. 解析：抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标为??16?41611
0，? y＝－ 答案：??16?16
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A．椭圆 C．抛物线 答案：D
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________． 1
解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
8111
0，－?. ∴2p＝，p＝，∴焦点为?32??8161
0，－? 答案：?32??
考点一 抛物线定义及应用?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
1
1．(2019·温州十校联考)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，直线l交抛物线C于A，B
4两点，|AF|＝3，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则|BF|＝( )
B．双曲线 D．一条直线
7
A. 2C．4
B．5 D．3
解析：选B 抛物线C的方程可化为x2＝4y，由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，可得|AF|＋|BF|＝8，又|AF|＝3，所以|BF|＝5.
2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是( )
A．4 C．6
B．5 D．7
解析：选B 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5，故选B.
[由题悟法]
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
pp
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋. 22
[即时应用]
1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
|BF|－1
A. |AF|－1|BF|＋1C. |AF|＋1
|BF|2－1 B. |AF|2－1|BF|2＋1 D. |AF|2＋1
解析：选A 由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且|BC|
A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由
|AC|抛物线方程知其焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点
K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴
|BC||BM||BF|－1
＝＝. |AC||AN||AF|－1
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1
和直线l2的距离之和的最小值是( )
35A.
511C. 5
B．2 D．3
解析：选B 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F|4－0＋6|到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.
5
考点二 抛物线的标准方程与几何性质?题点多变型考点——多角探明? [锁定考向]
抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现． 常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；
(2)抛物线的对称性．
[题点全练]
角度一：求抛物线方程
1．(2019·台州重点校联考)已知直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x C．y2＝－6x
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
解析：选B 过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线定p
2＋?＝8，解得p＝4，所以此抛物线的义知|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，则|AA1|＋|BB1|＝2??2?方程是y2＝－8x.
角度二：抛物线的对称性
x2y2
2．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，
abA，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )
A．1 C．2
3 B. 2 D．3