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图2-5微元体的力平衡
二、微元平衡方程（图2-5） 微体法线方向的力平衡： 由 得
??tR2sin?d?d????tR1d?d?sin??pR1R2sin?d?d?
??R1???R2?p (2-3)??t微元平衡方程。又称拉普拉斯方程。 ?oDodrmpmnnoo 图2-6 部分容器静力平衡
三、区域平衡方程（图2-6）
压力在0-0′轴方向产生的合力：V?2??rm0prdr
作用在截面m-m′上内力的轴向分量：V'?2?rm??tcos? 区域平衡方程式：V?V'?2?rm??tcos? (2-4) 求解步骤：
a.由 求轴向力 V b.由(2-4)式求得 ?? c.将??代入(2-3)式求得??
无力矩理论的两个基本方程: 微元平衡方程、区域平衡方程。 3.2.4 无力矩理论的应用
分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： ①承受气体内压的回转薄壳：a 球形薄壳
b 薄壁圆筒 c 锥形壳体
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dld 椭球形壳体
②储存液体的回转薄壳： a 圆筒形壳体
b 球形壳体
一、承受气体内压的回转薄壳
回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为：
V?2??rm0prdr 2 ??rmp
由式（2-4）得： ???prmpR2V?? （2-5）
2?rmtco?st2c?ost2R2) （2-6） R1将式（2-5）代入式（2-3）得：?????(2?A、球形壳体
球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R
pR将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得：???????? （2-7）
2t结论 a.??????pR2t 受力均匀且小。所以大型储罐制成球形较经济。
b.变形后仍为球形。 B、薄壁圆筒
薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为： R1=∞；R2=R
pRpR将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得：???,??? （2-8）
t2t???2??
薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍。
结论a.???2???pRt 的应用：(a)开椭圆孔时,应使短轴∥轴线。
(b)纵焊缝受??↑,强度↓,薄弱,∴质量要求(A类)
b.变形后仍为圆筒壳 C、锥形壳体
R1=? R2?xtg?
pR2pxtg?pr?? tttco?s由式（2-5）、（2-6）得： （2-9）
pxtg?pr????2t2tco?s??? 52
???2?? 图2-7 锥形壳体的应力 结论：
①周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零，离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向应力的两倍；
②锥壳的半锥角α是确定壳体应力的一个重要参量。 当α→0 °时，锥壳的应力→圆筒的壳体应力。 当α→90°时，锥体变成平板，应力→无限大。 ③变形后为准锥形。
D、椭球形壳体
图2-8 椭球壳体的应力 推导思路：椭圆曲线方程→R1和R2
由式（2-5）（2-6）→??,??
a?x(a?b)?pR2p???????2t2tba?x(a?b)?p??????2tb
422122422122 （2-10）
?)2???a4?2?a4?x2(a2?b?53
又称胡金伯格方程
pa/t????????????????图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律 结论：
①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。 在壳体顶点处（x＝0，y＝b）
a2pa2R1??= R2?? = ?????? b2bt
②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴 之比a／b有关，a＝b时，椭球壳→球壳，最大应力为圆筒壳中??的一半， a／b↑， 椭球壳中应力↑，如图2-9所示。
③椭球壳承受均匀内压时，在任何a／b值下：
??恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐递减至最小值。 当a?2 时，应力??将变号。从拉应力变为压应力。
b随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。 (即:内压椭球有可能周向失稳)
措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。 ④变形后为椭球壳。
⑤工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。
??的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反： 即顶点处为pat ，赤道上为?pat ，
??恒是拉应力，在顶点处达最大值为pat 变形后为一般椭圆形封头
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