发布时间 : 星期三 文章【人教版】最新初中数学竞赛名师讲义：第28-30章专题辅导(含答案)更新完毕开始阅读0664a51732687e21af45b307e87101f69e31fb2d
初中数学竞赛名师辅导
A1 A2 A3 A1 A2 A3 … … … … … … … An?2 An?1 An n?1 n?2 n?3 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 … An?2 An?1 An … 2 1 x 由此可知，对于An这一行的前面n?1个数（amn?0除外），将是前面若干个为1，后面若干个为0，并且1与0首尾搭配．
n?1n?1n?1个1，个0，即x?． 222nn当n为偶数时，n?1为奇数．考虑An，由已知它应赛过n??场．但它并不与An，…，An?1各队
?12222当n为奇数时，n?1为偶数，从而有比赛，而与A1，A2，…，An仅赛了
2?1n故还有一场，显然它应与An比赛过，从而An与A1，A2，…，?1场，
2An比赛过，x?2n． 2?n?综上所述，可知x???．
?2?28.2.18**** 若两个不同的实数a、b使得a2?b和a?b2都是有理数，则称数对（a，b）是“和谐”的．
（1）试找出一对无理数a、b，使得（a，b）是“和谐”的；
（2）证明：若（a，b）是“和谐”的，且a?b是不等于1的有理数，则a、b都是有理数； （3）证明：若（a，b）是“和谐”的，且詈是有理数，则a、b都是有理数． 11??解析 （1）不难验证（a，b）??2?,?2?是和谐的．
22??（2）由已知t?a2?b?a?b2??a?b??a?b?1?有理数，a?b?s是有理数，因此a?b?1?t?解得a??s??是有理数，当然b?s?a也是有理数．
2?s?1?????t，
a?b?1a（3）若a?b2?0，则b??是有理数，因此a?a?b2?b2也是有理数．若a?b2?0，由已知
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?a??1?????2a?b?b???b? x??a?b2?a??1??????1?b??b?xy?11y2?xa是有理数，y?也是有理数，因此?，故b?2是有理数，因此a?a?b2?b2也是有理
y?xbxy?1b数．
2??第29章 图论初步
29.1.1* 某大型晚会有2009个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．
解析 2009这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有5人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．
用5个点v1、v2、v3、v4、v5表示5个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识），就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说，由于v1所表示的人至少认识其他4个人的一个，不妨设v1与v2认识，即v1和v2相邻，同样，设v3与v4相邻，如图所示．对于顶点v5来说，无论它与v1、v2、v3、v4哪个相邻，都会出现一个顶点引出两条边的情况．于是问题得以解决．
v1v5v2v3
用同样的方法可以证明，对2009个人来说，命题成立．其实，把2009换成任意一个大于l的奇数，命题也成立．
29.1.2* 在一间房子里有n（n>3）个人，至少有一个人没有和房子里每个人握手，房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？
解析 用n个顶点表示n个人，若某两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样就得到了一个图G．因为不是任何两个人都握过手，所以G的边数最多是完全图Kn（即n个点每两点之间恰连一条边）的边数减1，去掉的那条边的两个端点v和v?所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是n?2．
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29.1.3*** 九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话． 解析 用9个点v1，v2，…，v9表示这九名数学家，如果某两个数学家能用某种语言对话，就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是：存在三个顶点vi、vj、vk，使得边（vi，
vj）和（vi，vk）是同色的．这样的，vi、vj、vk这三名数学家就能用同一种语言对话． 下面就顶点v1，分两种情形：
（1）v1与v2，…，v9均相邻，由于每个数学家至多能说三种语言，所以每一个顶点引出的边的颜色至多是三种．根据抽屉原理知，从v1发出的8条边中至少有2条是同色的，不妨设为（v1，、（v1，．于v2）v3）是v1、v2、v3所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（a）．
v2v3v1v9(a)v1v2(b)v3v4v5v6
v4637v51110129v8v1514v22v3(c)v68v7
（2）v1与v2，v3，…，v9中的至少一点不相邻，不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中，至少有两个人可以用同一种语言对话，所以，v3，v4，…，v9中的每一个不是和研相邻就是和功相邻，根据抽屉原理可知，其中至少有4个点与v1或v2相邻．不妨设v3、v4、v5、v6与v1相邻，如图（b），再对v1引出的这4条边用抽屉原理可得，至少有2条边是同色的，设为（v1，v3）、（v1，v4）．于是v1、v3、v4所表示的三名数学家能用同一种语言对话．
评注 若本题中的九改成八，则命题不成立．反例如图（c）所示．图中每条边旁的数字表示不同的语种．
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29.1.4** 证明任何一群人中，至少有两个人，它们的朋友数目相同．
解析 设任意给定的一群人有n个．用顶点表示这n个人．当且仅当顶点u、v表示的两个人是朋友时令u、v相邻，得到n个顶点的简单图G．
对G中任意x，由于它可以和其他n?1个顶点相邻，所以顶点x的度d（x）满足0≤d?x?≤n?1，即图G的顶点度只能是n个非负数0，1，…，n?1中的一个．如果图G的顶点的度都不相同，则图G具有0度顶点u和n?1度顶点v．n?1度顶点和G中其他顶点都相邻，特别地和顶点u相邻．但0度顶点u和G中任何顶点都不相邻，矛盾．这就证明了G中必定有两个顶点，它们的度相同．也就是说，这群人必有两个人，他们的朋友一样多．
29.1.5*** 有一个参观团，其中任意四个成员中总有一名成员原先见过其他三名成员．证明：在任意四名成员中，总有一名成员原先见过所有成员．
解析 用图论语言表示即：图G的任意四点中至少有一个顶点和其他三个顶点相邻．证明图G任意四个顶点中至少一个顶点和G中其他所有顶点都相邻．
用反证法．如果命题不成立，则G中有四个点x、y、z、w，它们和图G中的其他所有顶点不都相邻．于是存在四个顶点x?、y?、z?、w?（不一定不同）它们依次与x、y、z、w都不相邻．如图．所以x?不是y、z、w中的一个，且y?与x是两个不同的顶点．
如果y?与x?不同，则x、y、x?、y?中没有一个顶点和其他三个顶点都相邻，和已知矛盾．所以y?和x?重合．同理可证，z?和x?重合．于是x?和y?、z、w都不相邻，和已知矛盾．
这就证明了图G中任意四个顶点中至少有一个顶点和G的其他所有顶点都相邻．
x'xww'yy'z
29.1.6** 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条棱？
解析 不存在这样的多面体．事实上，如果这样的多面体存在，那么用顶点表示这个多面体的面，并且仅当vi、vj所代表的两个面有公共棱时，在图G相应的两顶点之间连一条边，依题意d?v?是奇数，于是奇数个奇数和也是奇数．而这一个图中的顶点的和为偶数矛盾．
评注 关于图G的顶点和边数之间的关系，有如下定理：图G中边数的两倍等于顶点度数之和．即若G中n个顶点为v1，v2，…，vn，边数为e，则
z'd?v1??d?v2????d?vn??2e．
29.1.7* n名选手进行对抗赛，每名选手至多赛一场，每场两名选手参加，已赛完n?1场．证明：至少有一名选手赛过三次．
解析 把选手看成顶点．当且仅当vi、vj所代表的两名选手比赛过时，令vi、vj相邻，得到含n个顶点的简单图．由于总共赛过n?1场，所以，图G的边数是n?1．于是