发布时间 : 星期一 文章备战中考数学专题复习圆与相似的综合题含答案解析更新完毕开始阅读066ace0c667d27284b73f242336c1eb91b373357
时，如图5，
∴ ∴
综上所述，t=1或3或 或 秒时，△PQF是等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作 QM⊥EF 于 M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽ △BEF；再由△QM F ∽ △BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为 ∠PFQ为钝角，所以只有PF = QF 。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的t值有四种结果。
3．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
【答案】（1）证明：∵ ED=BD， ∴ ∠B=∠BED． ∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°． ∵ EF⊥AB， ∴ ∠BEF=90°． ∴ ∠BED+∠GEF=90°． ∴ ∠A=∠GEF． ∵ ∠G是公共角， ∴ △EFG∽△AEG
（2）解：作EH⊥AF于点H．
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4， ∴tanA= = ，
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA= = , ∵ △EFG∽△AEG， ∴ ∵ FG=x， ∴ EG=2x，AG=4x． ∴ AF=3x． ∵ EH⊥AF， ∴ ∠AHE=∠EHF=90°． ∴ ∠EFA+∠FEH=90°． ∵ ∠AEF=90°， ∴ ∠A+∠EFA=90°, ∴ ∠A=∠FEH, ∴ tanA =tan∠FEH,
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH= = , ∴ EH=2HF,
,
∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA= = ， ∴ AH=2EH， ∴ AH=4HF， ∴ AF=5HF， ∴ HF= ， ∴EH= ， ∴y= FG·EH= x· =
定义域：（0 （3）解：当△EFD为等腰三角形时， ①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD， ∵∠BED=∠EFH， ∴∠BEH=∠AHG， ∵∠ACB=∠AEH=90°， ∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线， 则ED=EF=x，DG=8?x， ∵anA= ， ∴x=3，即BE=3； ②若FE=FD, 此时FG的长度是 ; ③若DE=DF, 此时FG的长度是 . 【解析】【分析】（1）因为ED=BD，所以∠B=∠BED．根据等角的补角相等可得∠A=∠GEF，而∠G是公共角，所以由相似三角形的判定可得△EFG∽△AEG； （2）作EH⊥AF于点H．∠AEF=∠ACB=90°，∠A是公共角，所以可得所以可得比例式， AEF ACB， ,由（1）得△EFG∽△AEG，所以可得比例式， ,因为FG=x，所以EG=2x，AG=4x．则AF=3x，由同角的余角相等可得 ∠A=∠FEH,所以tanA =tan∠FEH,在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH= ,所以EH=2HF, 在Rt△AEH中，同理可得AH=2EH，所以AH=4HF，AF=5HF，HF=x ，则EH= x ，△EFG的面积y= FG·EH=x· x= ,自变量的取值范围是0 （3）当△EFD为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，易得FG=3； ②若FE=FD, 易得FG=； ③若DE=DF, 易得FG= . 4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA ， CD为边作矩形ACDE ， 直线AB与直线CE ， DE的交点分别为F ， G ． （1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形． ①若点G为DE中点，求FG的长． ②若DG=GF ， 求BC的长． （2）已知BC=9，是否存在点D ， 使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）①在正方形ACDE中，有DG=GE=6 在Rt△AEG中，AG= ∵EG∥AC ∴△ACF∽△GEF ∴ ∴ ∴ ， ②如图1，在正方形ACDE中，AE=ED