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高中物理竞赛热学教程 第五讲机械振动和机械波 第一讲 温度和气体分子运动论
第一讲 温度和气体分子运动论 温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种
§1。1 温度 1．1．1、平衡态、状态参量
热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。
系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P、V、T就是气体的状态参量。
气体的体积V是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m3。 1m3=103L=106cm3
气体的压强P是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是pa。 1atm=76cmHg=1.013?105pa
1mmHg=133.3pa 1．1．2、 温标
温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是：
1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。
2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。
3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。
1．1．3、理想气体温标
定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。 T(P)=??P
是比例系数，对水的三相点有
T3=
?P3=273.16K
P3是273.16K时定容测温泡内气体的压强。于是
PT(P)=273.16KP3 (1)
同样，对于定压气体温度计有
VT(V)=273.16KV3 (2) V3是273.16K时定压测温泡内气体的体积。
用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有T(P)?T(V)。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K，定义式为
T=limp?0T(V)=limp?0
T(P)
普遍现象。
=273.16Klim
VPp?0
V3=273.16Klimp?0P3 (3)
1．1．4、热力学温标
理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K～1000℃)，T＜1K，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。
国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。
国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是：
t=T-273.15o (4)
这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为5?10?8K，
但是绝对零度是不可能达到的。
例1、定义温标t*与测温参量X之间的关系式为t*=ln(kX),k为常数
试求：(1)设X为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点
T*3?273.16，试确定t*与热力学温标之间的关系。(2)在温标t*中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t*中，是否存在零度？
解：(1)设在水三相点时，X之值是X3，则有273．16o=In(kX3)将K值代入温标t*定义式，有
t*?In??e273.16X?X?X??273.16??In3?X3 (2) 热力学温标可采用理想气体温标定义式，X是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有
T?273.16KlimXx?0X3 (3)
因测温物质是定容稀薄气体，故满足X→0的要求，因而(2)式可写成
limt*?273.16?Xx?0?ln(limx?0X)3 (4)
t*?273.16?InT273.16
这是温标t*与温标T之间关系式。
(2)在热力学温标中，冰点Ti?273.15K，汽点Ts?373.15K。在温标t*中其值分别为
t*?273.16??In273.15?273.16?273.16 t*?273.16??In373.15273.15?273.47?
(3)在温标t*中是否存在零度？令t*=0，有 T?273.16?e?273.16??1K
低于1K任何气体都早已液化了，这种温标中t*=0的温度是没有物理意义的。
§1-2 气体实验定律
1．2．1、玻意耳定律
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一定质量的气体，当温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常数PV?C，式中常数C由气体的种类、质量和温度决定。
抽气与打气问题的讨论。
简单抽气机的构造由图1-2-1示意，它由一个活塞和两个阀
门组成。当活塞向上提升时，a阀门打开，贮气筒PV 与抽气机相通，
气体膨胀减压，此时b阀门被关闭。当活塞向下压?V 贮气筒 缩时，b阀门打
开，a阀门关闭，抽气机内的气体被压出抽气机， b a完成一次抽气。贮气筒被抽气的过程，贮气筒内气体质量不断在减 小，气体压强也不断减小。设第一次抽气后贮气筒内气压p1，第n图 1-2-1
次抽气后贮气
筒内气压pn，则有：pV?p(V??V)
1p1V?p2(V??V)
pn?1?pn(V??V)
整理得
pVn?(V??V)np
简单压气机与抽气机的结构相似，但作用相反。图1-2-2示意，当活
塞上提时，a阀门打开，b阀门关闭，外界空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时?V 阀门a是关闭的，这就完成了一次压气过程。每次压气机压 入贮气筒的气体是
a b ? 图1-2-2
p??V，故pp?n?Vn?Vp00
1．2．2、盖—吕萨克定律
1一定质量的气体，当压强保持不变时，温度每升高1℃，其体积的增加量等于0℃时体积的273。若用V0表
V?Vl示0℃时气体的体积，V表示t℃的体积，则0(1?273)。若采用热力学温标，则273+t为摄氏温度t℃。
VT所对应的热力学温度T，273为0℃所对应的热力学温度T?0。于是，盖—吕萨克定律可写成V0T0。若温度为
T时，体积为V1；温度为T2时，体积为V2，则有
V1V2T?V?C1T2或T。
故盖—吕萨克定律也可表达为：一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温标成正比。 1．2．3、查理定律
一定质量的气体，当体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比
PT?C
式中常数C由气体的种类、质量和体积决定。 汞柱移动问题的讨论：
一根两端封闭、粗细均匀的石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两部分。下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体。该双原子分子气体的性质为：当T＞T0时，其分子开始分解为单原子分子
(仍为气体)。用n0表示T0时的双原子分子数，?n表示T0??T时分解了的双原子分子数，其分解规律为当△T
?n??T很小时，有如下关系：n0T0。已知初始温度为T0，此时下方的气柱长度为2l0，上方气柱长度为l0，水银柱产生的压强为下方气压的?倍?0???1?。试讨论当温度由T0开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。
?T假设水银柱不动。当温度为T0时，下方气体压强为p0，温度升至T0??Tp，气体压强
1?p0(1?T)0。
水银柱压强为ap0，故当T=T0时，上方气体压强为(1??)p0，当温度升至T0??T，有?n个双原子气体分子分解为2?n个单原子气体分子，故气体分子数由n0增至n0??n个。令此时压强为p2，管横截面积为S，则有：
(1??)p00l0S?nNRT0?
pln0??n20S?NR(T0??T)?
p?n解得
2?(1??)pn)?(1??T0(1?)?(1??)p?T20(1?)0TT
?p?T1??p1?p0?p0?T?p?(1??)p?T?T20(2?)0，T0T0
?p??p?(1?2?)?p?T?T2??p10?T?(1??)?p0?()20T0
?T?TT()21因△T很小，故0项起主导作用，而T0项的影响较之第一项要小得多，故从分析如下：①当?＞211时，?p＜0时，水银柱上升，②当?＜2时，?p＞0水银柱下降。③当?=2时，?p＞0水银柱下降。
以上三个实验定律只能反映实验范围内的客观事实，它们都具有一定的近似性和局限性。对于一般的气体，只有当压强不太大，温度不太低时，用三个定律求出的结果与实验数据才符合得很好。如果压强很大或温度很低时，用这三个定律求出的结果与实验结果就会有很大的偏差。
1．2．4、理想气体
它是能够准确遵守气体实验定律的一个气体的理论模型。
对查理得律，设P和P0分别表示t?C和0?C时气体压强，则有
1P?P0(1??pt)，?p?273.15?
对盖—吕萨拉定律，设V和V0分别表示t?C和0?C时气体的体积，则有
V?V??1v0(1??tt)，273.15?
对理想气体，有
???1pv?273.15? 例1、一个质量m=200.0kg、长l0=2.00m的薄底大金属桶
Po 倒扣在宽旷的
水池底部(图1-2-3)桶内的横截面积S?0.500m2(桶的容积为
l0S)，桶本身(桶壁与桶底)的体积V0?2.50?10?3m3，桶内封有高度
n0
l?0.200m Lo 图1-2-3
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的空气，池深H00m，大气压强P00m水柱高，水的密度??1.00?103kg/m30?20.0?10.，重力加速度g
取10.00m/s2。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值，试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水(包括池水和桶内水)的机械能改变了多少(结果要保留三位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱和蒸气压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。
解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体的浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出。因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程。
下面先看这一位置是否存在。如果存在的话，如图1-2-4所示，设在此位置时桶内空气的高度为l?，因浮力等于重力，应有
mg??(l?s?V0)g (1)
代入已知数据可得
l??0.350m (2)
L` 设此时桶的下边缘距池底的高度H，由玻——马定律可知
?P0?H0(l0?l)?l??P0?H0?H?(l0?l?)?l?
H (3)
由(2)、(3)式得到
H=12.24m (4) 图1-2-4 因为H＜(H0?l0)，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述
浮力等于重力的
位置。
现在要求将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水的机械能的增量△E。△E包括三部分：(1)桶势能的增量?E1；(2)在H高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量?E2；(3)在H高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量?E3。则
?E1?mgH； ?E2???V0gH；
?E3??sLg(L0?L/2)??S(l??l)gH0??Sl?g(H?l0?l?/2)。 ?E??E1??E2??E3
??m???(v0?sl?)?gH??Sg?(l??l)(H?0?l0)?(l??l2)/2?
??Sg(l??l)(H0?l0)?(l?2?l2)/2
?1.37?104J
§1-3 理想气体状态方程
1．3．1、理想气体状态方程
反映气体在平衡态下状态参量之间规律性联系的关系式称为气态方程。我们知道，理想气体状态方程可在气体实验定律的基础上得到，一定质量的理想气体的两平衡参量之间的关系式为
P1V1P2V2T?1T2 （5）
在标准状态(P0?Iatm，T0?273.15K)，1mol任何气体的体积
v0?22.4?10?3m3mol-1。
因此vmol气体在标准状态下的体积为V0?v?0，由(5)式可以得出：
PVPT?P0V0T?v0v0T?vR00
由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：
PV?vRT?mMRT
PV式中R称为摩尔气体恒量，它表示1mol气体在标准状况的T的值，其值为 R?P0V0JatmT?8.31.K?8.2?10?2.LcaImol.K?20molmol.K
推论：1、1mol的任何物质含有的粒子数NA?6.02?1023moI?1，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为m、
摩尔质量为M的气体，其分子数为N，则此气体的摩尔数为
v?m/M?N/NA (6)
同时引用玻耳兹曼常数
k?R/NA?1.38?10?23J.K?1
PVk的物理意义：1个分子在标况下的T。
将(6)式代入(5)式，可以得到
PV?NkT (7) 或者 P?nkT (8)
2、气体密度：由(5)式可以得到
??mPMV?RT (9)
例如空气的平均摩尔质量M?28.9?10?3kg.moI?1，在标准状态下空气密度为 ??1?28.9?10?3?38.2?10?2?273?1.29?10kg/L
由(5)式可知，对于理想气体，可应用气态方程的另一形式，为
P2P?T?122?1T1 (10)
3、气体的分合关系：无论是同种还是异种理想气体，将质量为m，状态为PVT的理想气体被分成若干部分(miPiViTi)时，则有
PV??PiViTiTi (11)
1．3．2、混合理想气体状态方程
1、道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即
P??Pii (12)
其中每一部分的气态方程为
PVmiii?MRTi (13)
?kg(3)Pmatm 高中物理竞赛热学教程 第一讲 温度和气体分子运动论
混合理想体气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但M为平均摩尔质量。
PV?mMRT (14)
由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量M有
1??mi1MimMi (15)
由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体的分压强：
P?miMimMPi (16)
1．3．3、混合气体的状态方程
如果有n种理想气体，分开时的状态分别为(P1、V1、T1)，(P2、V2、T2)，…，(Pn、Vn、Tn)，将它们混合起来后的状态为P、V、T，那么，有
P1V1?P2V2???PnVnPVTT?2TnT
如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有
P????1V12T?P2V?P1V1?P2V21T2T?T?12
例1、一根一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段20cm的水银柱。当温度为27C且开口端向上时，被封闭的气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中全部溢出。
解：设气体温度为T时，管内的水银柱高度为x，x＜20cm，大气压强p0?76cmHg。
(76?20)?60(76?x)(96?x)300?T2 (1)
得到
x2?20x?(76?96?965T2)?0 (2)
其中P以cmHg为单位，长度以cm为单位。
要求x有实数解的条件
96400+4×(76×96-5T2)≥0
可见T2≤385.2K，x≥10cm时，管内气体可以形成平衡状态。反之，T＞T2因而x＜10cm时，管内气
体压强总是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡态无法建立而导致非平衡状态，水银柱将全部溢出。
例2、设在恒温0℃下，测得三甲胺(CH3)3N的密度随压强变化的数据如下表所示，试根据这些数据要求三甲胺的摩尔质量。 p(atm) 0.2 0.4 0.6 0.8 ?(kg?m?3) 0.5336 1.0790 1.6363 2.2054 解：为了准确测定气体的摩尔质量，必须把实际气体的压强外推到零(P→0)时应用理想气体状态方程，即由(1-15)式有
M?Iim?p?0(P)RT (1)
2.75 为了求出P→0时(?/P)的极限值，可将上述数据作如下变
2.70 换：
2.65 2.60 0
0.2 0.4 0.6 0.8 P(atm)
图1-3-1
P(atm) 0.2 0.4 0.6 0.8 ?/P(kg?m?3atm?1)2.6680 2.6975 2.7272 2.7568 现以?/P为纵坐标，P为横作标，作出?/P-P图形(图1-3-1)，将图中曲线外推到P→0得到
?/P?2.638(kg.m?3atm?1)?2.638?10?3(kg.atm?1L?1)
将上述结果代入(1)式可得
M?59.14?10?3kg.moI?1即三甲胺的分子量为59.14。
§1.4 气体分子运动论
1. 4.1、 分子运动论的基本点
1、宏观物体由大量分子组成。分子直径的数量级一般为10?10m，分子质量为10?27kg。在标准状态下，
气体分子的数密度为
n?P/kT?2.69?1025m?3?2.69?1019cm?3
2、物体内的分子永不停息地作无规则运动。这是根据布朗运动和扩散现象得出的结论。实验表明扩散的快慢和布朗运动的激烈程度与温度的高低有明显的关系。由此常把大量子的无规则运动称为热运动，热运动是物质运动的一种基本形式，热现象是它的宏观表现。气体分子热运动的平均速率与温度的关系为
??8kT8RT?m??M
常温下， v?102m.s?1。
3、分子之间存在的相互作用力。分子之间同时存在引力和斥力，它们都随距离的增大而减小。其合力具体
表现为相吸引还是相排斥，取决于分子间的距离。当
r0?10?10m时，合力为零，分子间的距离r0的位置称为平衡位置；当r＞r0时，分子力表现引力；当r＜r0时，分子力表现为斥力；当r＞10?9m时，分子力可忽略不计。分子力是保守力，存在着由分子和分子间相对位置所决定的势能称为分子力势能。
分子力和热运动是决定物体宏观性质的基本因素。分子力作用倾向于使分子聚集一起，在空间形成某种有序排列；热运动却力图造成混乱存在向外扩散的趋势。
1．4．2、理想气体的微观模型
先来作个估算：在标准状态下，1mol气体体积V?10?3m3moI?1，分子数N23?10?22.4A?6.02?10moI，若分子直径d?2.0?10?10m，则分子间的平均间距L?(V0/N1/3A)?3.34?10?9m，相邻分子间的平均间距
与分子直径相比L/d?17。
由此可知，气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。