1990高考数学全国卷及答案理 联系客服

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参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)D (9)B (10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力. 解法一:

由②式得 d=12-2a. ③

整理得 a2-13a+36=0 解得 a1=4,a2=9. 代入③式得 d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③

将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得

解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,

sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有

解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β).

于是 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).

若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即 α+β=2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.

而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.

∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA=a, 又因为AB⊥BC,

∴∠ACS=30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE=E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.

∵DE面BDE,DC面BDC,

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.

(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一:设z=x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③

(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a. ④ .

由此可知:当a=0时,方程④无正根;

(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤ .

由此可知:当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根

x=1-.

(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.

由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;