发布时间 : 星期三 文章概率论与数理统计习题答案1-19章更新完毕开始阅读06d9e2c258f5f61fb736663d
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算
一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件
（1）写出试验的样本点及样本空间；
（2）把事件（3）事件
集合．
解：设ωi表示“出现i点”(i（1）样本点为ω1A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现的点数能被3整除”．
A及B分别表示为样本点的集合；
A,B,A?B,AB,A?B分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的
?1,2,?,6)，则
,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6；样本空间为??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}.
（2）A?{ω2,ω4,ω6}； B?{ω3,ω6}.
；B?{；ω1,ω2,ω4,ω5}，表示“出现的点数不能被3整除”A?{ω1,ω3,ω5}，表示“出现奇数点”
；AB?{A?B?{ω2,ω3,ω4,ω6}，表示“出现的点数能被2或3整除”ω6}，表示“出现的点数能被2整除且能（3）
被3整除”；A?B?{ω1,ω5}，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”
二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A—“点数之和大于10”，B—“点
数之和小于15”．
（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3
A—“最小号码为1”．
解：(1) 设ωi表示“点数之和等于i”(i?3,4,?,18)，则
只，
Ω?{ω3,ω4,?,ω18}；
A?{ω11,ω12,?,ω18}；B?{ω3,ω4,?,ω14}.
(2) 设ωijk表示“出现号码为i,j,k”(i,j,k?1,2,?,5;i?j?k)，则
Ω?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145,ω234,ω235,ω245,ω345} A?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145}.
三、设
A,B,C为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件：
(1) A发生, B与C都不发生； (2) A,B,C都发生；
(3) A,B,C中至少有两个发生； (4) A,B,C中至多有两个发生．
解：(1)
(2) (3)
(4)
四、一个工人生产了n个零件，以Ai表示他生产的第 （1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1)
(2) (3) (4)
2 概率的古典定义·概率加法定理
ABC； ABC；
ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?CA
ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC或A?B?C. 或ABCi个零件是合格品（1?i?n）．用Ai表示下列事件：
A1A2?An；
A1A2?An或A1?A2???An；
A1A2?An?A1A2?An???A1A2?An A1?A2???An或A1A2?An.
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．
解：基本事件总数为C9C10C10C10C10C10C10有利事件总数为C9C9C8C7C6C5C4设
11111111111111?9?106
?92?8?7?6?5?4
A表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则
92?8?7?6?5?4P(A)??0.0605 69?1010A10?10!
7A7?7!种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位
二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率． 解：基本事件总数为
指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为置共C8设
13?8种；这三本书的排列顺序数为A3?3!；故有利事件总数为7!?8?3!?8!?3!(亦可理解为P88P33)
A表示“指定的三本书放在一起”，则
P(A)?8!?3!1??0.067 10!15
三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个
队被分在不同组内的概率． 解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数C20；两个最强的
队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数C2C18 设
1910
A表示“最强的两队被分在不同组”，则
19C2C1810P(A)???0.526 1019C20
四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率． 解：设Ai表示“出现的次品为i件”(i于 1个”，则
?0,1,2,3,4,5)，A表示“取出的产品中次品不多
，所以P(A)A?A0?A1.因为A0A1?V?P(A0)?P(A1).而
50149C95C5C955?25?4747?23P(A0)?50??0.0281 P(A1)???0.1529 504?99?97C1004?99?97C100故 P(A)?0.0281?0.1529?0.181
五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设
A表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B表示“取出的3件产品中没有废品”；
C表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则
12C6C19418?194?193(1) P(A)???0.0855 3200?199?198C200(2)
3C194194?193?192P(B)?3??0.912
C200200?199?1982130C6C194?C6C19490?194?120P(C)???0.00223 3200?199?198C200(3)
六、设P(A)?P(B)?P(C)?概率． 解：因为P(AB)?11, P(AB)?P(AC)?0, P(BC)?．求A, B, C至少有一事件发生的 34P(AC)?0，所以AB?V,AC?V，从而(AB)C?V可推出P(ABC)?0
设D表示“A, B, C至少有一事件发生”，则D?A?B?C，于是有
P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
?
11113?????0.75 33344
3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式
一、设P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A|B)?0.6,求P(AB),P(A|A?B)．
解：因为A?A(B?B)?AB?AB，所以P(A)?P(AB)?P(AB)，即
P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(B)P(AB)?0.5?(1?0.4)?0.6?0.14
P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A?B)?P(A)P(A)?P(B)?P(AB)?0.50.5??0.68
0.5?(1?0.4)?0.360.74
二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设
A表示“第一次拨通”，B表示“第二次拨通”，C表示“拨号不超过两次而拨通”
111C9C1C111（1）P(C)?P(A)?P(BA)?1?1?1???0.2
C10C10C91010111A1A4A111（2）P(C)?P(A)?P(BA)?1????0.4 255A5A5
三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．
（1）求任意取出的零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i格品” （1）P(C)?1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合
?P(A1C?A2C)?P(A1C)?P(A2C)?P(A1)P(CA1)?P(A2)P(CA2)
21 ??(1?0.03)??(1?0.02)?0.973
331?0.02P(A2)P(BA2)P(A2B)3（2）P(A2B)????0.25
1P(B)P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)2?0.03??0.0233
四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率． 解：设Ai表示“第i次击中”(i而有
?1,2,3)，则由题设，有P(A1)?0.6?k100，得k?60，从
k60k60??0.4，P(A3)???0.3. 150150200200 设A表示“三次之内击中”，则A?A1?A1A2?A1A2A3，故有 P(A2)?P(A)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.6?(1?0.6)?0.4?(1?0.6)?(1?0.4)?0.3?0.832
（另解）设B表示“猎人三次均未击中”，则
P(B)?(1?0.6)(1?0.4)(1?0.3)?0.168
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
故所求为
P(B)?1?P(B)?0.832
五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设Ai表示“第一次取得i个新球”(i?0,1,2,3)，则
3112C3C32C9C3C9108127 P(A1)? P(A0)?3??P(A)??233220220C12220C12C1203C3C984 P(A3)??3220C12设B表示“第二次取出的都是新球”，则
33331C927C8108C784C6P(B)??P(Ai)P(BAi)??3??3??3??3220C12220C12220C12220C12i?01212714108784177616?????????0.146 ?220552205522044220115324003
4 随机事件的独立性·独立试验序列
一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设Ai表示“第i台机床不需要照管”(i?1,2,3)，则
P(A1)?0.9 P(A2)?0.8 P(A3)?0.7
再设B表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则
B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
于是有
P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.9?0.8?0.7?(1?0.9)?0.8?0.7?0.9?(1?0.8)?0.7?0.9?0.8?(1?0.7)
?0.902．
（另解）设Bi表示“有i台机床需要照管”(i?0,1)，B表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则B?B0?B1且B0、B1互斥，另外有 P(B0)?0.9?0.8?0.7?0.504
P(B1)?(1?0.9)?0.8?0.7?0.9?(1?0.8)?0.7?0.9?0.8?(1?0.7)?0.398 故P(B)?P(B0?B1)?P(B0)?P(B1)?0.504?0.398?0.902．
二、电路由电池a与两个并联的电池b及c串联而成．设电池a,b,c损坏的概率分别是0.3、
0.2、0.2，求电路发生间断的概率．
；A3表示“c损坏”；则 A2表示“b损坏”
P(A1)?0.3 P(A2)?P(A3)?0.2
又设B表示“电路发生间断”，则
B?A1?A2A3 于是有
解：设A1表示“a损坏”；
P(B)?P(A1?A2A3)?P(A1)?P(A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328．
111、、534，求能将此密码
三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为
译出的概率． 解：设
A表示“甲能译出”；B表示“乙能译出”；C表示“丙能译出”，则
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