1-2-1-3 等差数列应用题.教师版 联系客服

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等差数列应用题

例题精讲

【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。

【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第3题,5分

【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0,3,6,9L,99共33个,他们的和是

?0?99??3434=。 ?17?99?1683,则他们的平均数为1683÷

2【答案】49.5

【例 2】 一群小猴上山摘野果,第一只小猴摘了一个野果,第二只小猴摘了2个野果,第三只小猴摘了3个

野果,依次类推,后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后,每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第7题

【解析】 平均每只猴分8个野果,所以最后一只猴摘了8?2?1=15只果,共有15只猴.

【答案】15只猴子

【例 3】 15位同学排成一队报数,从左边报起思思报10.从右边报起学学报12.那么学学和思思中间排着

有 位同学.

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,1年级

【解析】因为从左边起思思报10,所以,思思的右边还有15?10?5(个);又因为从右边起学学报12,所以,

学学的左边还有15?12?3(个),15?6?4?5(个)学学和思思中间排着5位同学.

<考点> 排队问题 【答案】5位

【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。如果冬冬报

17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 首项=17,末项=150,公差=7,项数=(150-17)÷7+1=20

【答案】20

【例 5】 一个队列按照每排2,4,6,8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ,那么这个队列共有多少人?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 (方法一)利用等差数列求和公式:通过例1的学习可以知道,这个数列一共有50个数,再将和为

102的两个数一一配对,可配成25对.

所以2?4?6?L?96?98?100=(2+100)?25=103?25=2550

(方法二)根据1?2?3?L?98?99?100?5050,从这个和中减去1?3?5?7?...?99的和,就可得出此题的结果,这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下,为今后的学习作铺垫.

【答案】2550

【例 6】 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的.第一个雕塑有3只蝴蝶,

第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的

规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢?由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 也就是已知一个数列:3、5、7、9、11、13、15、…… ,求这个数列的第102项是多少?999是第几

项?由刚刚推导出的公式——第n项?首项?公差(, ?n?1)所以,第102项?3?2?(102-1)?205;由“项数?(末项?首项)?公差?1”,999所处的项数是:

【答案】499

【例 7】 如右图,用同样大小的正三角形,向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数(重

合的顶点只计一次)依次为:3,6,10,15,21,…问:这列数中的第9个是多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,第6题

【解析】 这列数第一项为3,第二项比第一项多3,以后每项比前项多项数加1,所以第9项为3+3+4+

5+6+…+10=1+2+3+4+5+6+…+10=55。

【答案】55

【例 8】 有一堆粗细均匀的圆木,堆成梯形,最上面的一层有5根圆木,每向下一层增加一根,一共堆了28

层.问最下面一层有多少根?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将每层圆木根数写出来,依次是:5,6,7,8,9,10,…可以看出,这是一个等差数列,它的首项

是5,公差是1,项数是28.求的是第28项.我们可以用通项公式直接计算. 解: an?a1?(n?1)?d

?32(根)

故最下面的一层有32根.

【答案】32

【巩固】 建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层

都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?这堆砖共有多少块?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 项数=(2106-2)÷4+1=527,因此,层数为奇数,中间项为(2+2106)÷2=1054,数列和=中间项×项数

=1054×527=555458,所以中间一层有1054块砖,这堆砖共有555458块。

【答案】555458

【例 9】 一个建筑工地旁,堆着一些钢管(如图),聪明的小朋友,你能算出这堆钢管一共有多少根吗?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 (方法一)不难发现,这堆钢管每一层都比上一层多1根,也就是从上到下每层钢管的数量构成了一

个等差数列,而且首项为3,末项为10,项数为8.由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量:

(3?10)?8?2?52(根)

(方法二)我们可以这样假想:通过对几何图形进行旋转,从而达到配对的目的是解决问题的关键(如图)

这个槽内的钢管共有8层,每层都有3?10?13(根),所以槽内钢管的总数为:(3?10)?8?104 (根).取它的一半,可知例题图中的钢管总数为:104?2?52(根)

【答案】52

【巩固】 某剧院有20排座位,后一排都比前一排多2个座位,最后一排有70个座位,这个剧院一共有多少个

座位?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 第一排座位数:70?2?(20?1)?32(个),一共有座位:(32?70)?20?2?1020(个).

【答案】1020

【巩固】 一个大剧院,座位排列成的形状像是一个梯形,而且第一排有10个座位,第二排有12个座位,第三

排有14个座位,……最后一排他们数了一下,一共有210个座位,思考一下,剧院中间一排有多少

个座位呢?这个剧院一共有多少个座位呢?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来,10、12、14、16、… 容易知道,是一个等差数列.210是第

n?(210?10)?2?1?101排,中间一排就是第(101?1)?2?51排,那么中间一排有:

座位.根据刚刚学过的中项定理,这个剧场一共有:. 10?(51?1)?2?110(个)110?101?11110(块)

【答案】11110

【例 10】 有码放整齐的一堆球,从上往下看如右图,这堆球共有多少个?

【考点】等差数列应用题 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,第10题

【解析】 从图中可以看出,除去最上层1个球外,第二层(次上层)有(1+2+3+4+5)=15个球,以

后每层比上一层多6、7、8、9、10个球,共7层.15+6=21,21+7=28,28+8=36,36+9=45,45+10=55,1+15+21+28+36+45+55=201。

【解析】 答:共有201个球。

【答案】201个球

【例 11】 某年4月所有星期六的日期数之和是54,这年4月的第一个星期六的日期数是 。

【考点】 等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第14题

【解析】 4x+(+7) +(+14) +(+21)=54,x=3

【答案】3

【例 12】 一辆双层公共汽车有66个座位,空车出发,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位

乘客,依此类推,第几站后,车上坐满乘客?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 通过尝试可得:即第11站后,车上坐满乘客.记住自然数1~101?2?3?L?11?(1?11)?11?2?66,

的和对于解一些应用题很有帮助,需要尝试求解时能够较快找到大概的数.

【答案】11

【例 13】 时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟敲一下.问:时钟一昼夜打多少下?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下,即:

(1?2?3?L?12)?12?(1?12)?12?2?12?78?12?90(下),

所以一昼夜时钟一共敲打:90?2?180(下).

【答案】180

【例 14】 已知:a?1?3?5?L?99?101,b?2?4?6?L?98?100,则a、b两个数中,较大的数比较

小的数大多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 (方法一)计算:a?(1?101)?51?2?2601,b?(2?100)?50?2?2550,所以a比b大,大

2601?2550?51.

(方法二)通过观察,a中的加数从第二个数起依次比b中的加数大1,所以a比b大, 【答案】51

【例 15】 小明进行加法珠算练习,用1?2?3?4?L,当加到某个数时,和是1000.在验算时发现重复加了

一个数,这个数是多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】迎春杯

【解析】 通过尝试可以得到1?2?3?L?44? (1?44)?44?2?990.于是,重复计算的数是1000?990?10.

【答案】10

【例 16】 编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖,已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖.如果

1号盒子里放11粒糖,那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据题意,灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答.

由等差数列求和公式“和?(首项?末项)?项数?2”,可得:末项?和?2?项数?首项. 则第9个盒子中糖果的粒数为:351?2?9?11?67(粒)

题目所求即公差?(67?11)?(9?1)?56?8?7(粒),则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖.

【答案】7

【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 等差数列有个规律:首项?末项?第2项?倒数第2项?第3项?倒数第3项?L,所以我们可以得

到等差数列求和公式的一个变形,假设等差数列有n项,则和?(第a项?第n?a?1项)?n?2,则倒数第3个盒子即第个盒子中糖果的粒数为:351?2?9?23?55(粒) (9?3?1)题目所求即公差?(55?23)?(7?3)?32?4?8(粒),则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖.

【答案】8

【例 17】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资,以后每月多得60元;小高第一个月得

到500元工资,以后每月多得45元。两人工作一年后,所得的工资总数相差多少元?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 小王:1000+60×(12-1)=1660,(1000+1660)×12÷2=15960

小高:500+45×(12-1)=995,(500+995)×12÷2=8970,15960-8970=6990 即一年后两人所得工资总数相差6990元。

【答案】6990

【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司,都要求签工作五年的合同,年薪开始都是一万元,但两个公

司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元,乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算,王

芳应聘 公司工作收入更高。

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯,3年级,决赛

【解析】 甲公司五年之内王芳得到的收入为:

10000?11000?12000?13000?14000?60000(元).

【解析】 乙公司五年之内王芳得到的收入为:

10000?5?300?600?900?1200?L?300?9?50000?300 ?45?63500(元).所以,王

芳应聘乙公司工作收入更高.

【答案】63500

【例 18】 在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为656,且第一名的分

数超过了90分(满分为100分)。已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 他们的平均分为656÷8=82

82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名,相对应的,公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6……