发布时间 : 星期日 文章1-2-1-3 等差数列应用题.教师版更新完毕开始阅读06f48dd1fd4ffe4733687e21af45b307e971f93c
若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4-1）×2=89分，不符合题意，舍； 若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4-1）×4=96分，不符合题意； 若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4-1）×6=103分，不符合题意。 因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分
【答案】88
【例 19】 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，
然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子．共有多少个盒子？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的．
我们设除了空盒子以外一共有n个盒子．小明回来查看时，原来那个空盒子现在不空了，但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子．这样，原来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子．
原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装一个棋子来代替它，那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的棋子依次是0，1，2，3，L，n．
根据这个等差数列的和等于50多，通过尝试求出当n?10时，1?2?3?L?10?（1?10）?10?2?55 满足题意，其余均不满足．这样，只能是n?10，即共有11个盒子．
【答案】11
【例 20】 某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到
分厂工作，直到月底，总厂还剩工人250人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1
人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛
【解析】 260人工作31天，工作量是260?31?8060（个）工作日．假设每天从总厂派到分厂a个工人，
第一天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为0个工作日； 第二天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为a个工作日； 第三天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为2a个工作日；
……
第31天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为30a个工作日． 从而有：9455?0?a?2a?3a?L?30a?8060
求得a?3．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有3?31?93（人）．
【答案】93
【例 21】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形共有
8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层 小三角形数 火柴数 1 1 3 2 3 6 3 5 9 4 7 12 5 9 15 6 11 18 7 13 21 8 15 24 由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列．
（1?3?5?L?15）?12?（1?15）?8?2?12?768(平方厘米)． ⑴ 最大三角形面积为：
（3?24）?8?2?108(根)． ⑵ 火柴棍的数目为：3?6?9?L?24?【答案】⑴768 ⑵108
【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图
中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，
300．求所有结点上数的总和．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯
【解析】 如下图，各结点上放置的数如图所示．从100到300这条直线上的各数的平均数是200，平行于这条
直线的每条直线上的各数的平均数都是200．所以21个数的平均数是200，总和为200?21?4200．
【答案】4200
【巩固】 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，
如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个，向下
的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．
这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为：3，6，9，……，3?10．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10． 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即
3?6?9?L?30?（3?30）?10?2?33?5?165(根)
所以，一共要放165根火柴
【答案】165
【例 22】 盒子里放有编号1～9的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取3个，如果从第二次起每次取
出的球的编号的和都比上一次的多9，那么他第一次取的三个球的编号为_____．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 根据题意知道这九个小球的编号和为：1?2?3?LL?9?45，若想每次去球都比上一次的多9，则
从数论角度来看本题就是将45拆三个数字和，并且三个数字和的公差为9，所以第一次取球为
?45?9?9?2??3?6，所以第一次去的3个求的编号为：1、2、3.
【答案】1、2、3.
【例 23】 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发
现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
（1?n）?n?2，（1?n）?n?3994?2x，两个相邻的自然数的【解析】 用x表示小明少加的那个数，1997?x?（1?n）?n和n2比较接近，可以先找3994附近的平方数，最明显的要数积比3994大一些，因为
3600?60?60，而后试算两个相邻自然数的乘积61?62?3782，62?63?3906，63?64?4032，
所以n?63，正确的和是2016，少加的数为:2016?1997?19．
【答案】19
【例 24】 黑板上写有从1开始的一些连续奇数：
1，3，5，7，9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数
是 ．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯
【解析】 1，3，5，7，L，(2n?1)，这n个奇数之和等于n2，452?2025，擦去的奇数是2025?2008?17．
【答案】17
【巩固】 小明住在一条胡同里．一天，他算了算这条小胡同的门牌号码．他发现，除掉他自己家的不算，其余
各门牌号码之和正好是100．请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家的门牌号
码是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：
1?2?L?10?55，所以和在100附近的应该为1～14、或1～15，
⑴1?2?L?14?105，小明家门牌号为5，共有14户人家；
⑵1?2?L?14?15?120，小明家门牌号为20，不再1～15的范围，所以不符合题意．
【答案】共有14户人家；门牌号为5
【例 25】 在51个连续的奇数1，3，5，LL，101中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是
多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第二大题，第4题，10分 显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。 【解析】
首先考虑从45个连续的奇数1，3，5，7，…，99中选出n个数，使它们的和不超过1949。
2由1?3?5?L??2n?1??n得n2≤1949。
因为452?2025＞1949，且45个奇数的和不小于1?3?5?L?89?2025＞1949，所以n≤44。 若选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而1949为奇数，所以不可能选取44个奇数， 使得它们的和为1949。所以n≤43。
因为442?1936＜1949，2025－1949＝76，且76是偶数，
所以至少从1，3，5，…，89中删除两个奇数，并使它们的和为76。
如，去掉1，3，5，…，89中的两个奇数37和39，即选1，3，…，35，41，…，87，89。 易验证1?3?5?L?35?41?43?L?89?2025?76?1949。 所以n的最大值为43。
【答案】43
【例 26】 小丸子玩投放石子游戏，从A出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米
再放5枚石子，再走10米放7枚石子，L照此规律最后走到B处放下35枚石子．问从A到B路程
有多远？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先计算投放了多少次．由题意依次投放石子数构成的数列是：1，3，5，7，L，35．这是一个等差数
35，那么n?（an?a1）?d?1?（35?1）?2?1?18；再看列，其中首项a1?1，公差d ?2，末项an= 投放石子每次走的路程依次组成的数列：1，4，7，10，这又是一个等差数列，其中首项a1，?1，公差
（n?1）?d,?1?（18?1）?3?52，其和为d,?3，项数n?1 8．末项an,?a1,?,Sn,?（a1,?an）?n?2?（1?52）?18?2?477(米)．
【答案】477
【例 27】 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方形，
问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1?1，d ?2，an?15，所以
n?（15?1）?2?1?8，所以，白色方格数是：1?2?3?L?8?（1?8）?8?2?36
（1?7）?7?2?28． 黑色方格数是：1?2?3?L?7?【答案】28
【巩固】 有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第10行为止一共
用了 根火柴棒．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】小机灵杯
【解析】 横向：1行：1?1根； 【解析】 2行：1?3?3根； 【解析】 3行：1?3?5?5根； 【解析】 L 【解析】 10行：1?3?5?L17?19?19
纵向：1行：2根；
2行：2?4根； 3行：2?4?6根；
L
10行：2?4?6?L?20根
总共有（1?3?5?L17?19）?19?（2?4?6?L?20）（?1?19）?10?2?19?（2?20）?10?2
?100?19?110?229（根）．
【答案】229
【例 28】 如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有 【例 29】 个．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】中环杯，初赛
【解析】 根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1，2，3，4，L排列，所以第12个图
形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1?2?3?L?11?66(个)．
【答案】66
【例 30】 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算
了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
（1?n）?n?2，（1?n）?n?1776?2x ，两个相邻的自然数的【解析】 用x表示木木多加的那个数，888?X?积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，1600?40?40 ，试算：40?41?1640，
41?42?1722 ，42?43?1806 ，所以n?41，所以
x?（1776?41?42）?2?27．
【答案】27
【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时
用了3天．问：学校距离百花山多少千米？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮助解
题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是x，则第二天为x?2，第三天为x?4，第四天x?6，第五天的距离为x?8，第六