发布时间 : 星期一 文章[推荐]2019届浙江省嘉兴市高三9月基础测试数学试题（WORD版）更新完毕开始阅读086561ce82eb6294dd88d0d233d4b14e85243ec5
2018 年高三基础测试
数学 参考答案
一、选择题（本大题共
10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
3． C； 8． D；
在 [ 2,5] 上的最大值是
1． B； 6． C；
10．提示：
2． B； 7． C；
g( x)
4． A； 9． B；
5． C； 10． A．
x 3 x 1
5 ，最小值是 2．考虑 y g( x ) → y
g( x ) m →
y | g( x) m | → y | g( x ) m | m 的 图 象 变 换 ． 若 m
m
0 ， 则 最 大 值 不 变 ； 若 m
0 ， 则 当
5
2
2 7
时最大值不变．故
m
7 2
．
2
二、填空题（本大题共
7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题
12．
448 ， 3280 ；
1 ； 2
4 分，共 36 分）
11 ． 2， 16 或 2 ； 13．
7
， ( 5 3
2 ) ；
14． ，
2
1
15 ． 4；
16． [ 3, 2] ；
17．
2 10
5
．
三、解答题（本大题共 18．（本题 14 分）
5 小题，共 74 分）
已知函数 f ( x)3 cos x
2sin x cosx
3 ． 2
（Ⅰ）将 f ( x) 化为 Asin(
x) k （ A, , , k 为常数）的形式；
（Ⅱ）求 f ( x) 的单调递增区间．
解：（Ⅰ） f ( x)
3 cos x sin x cosx
21
2
sin 2 x
3
2
3 2
cos2 x
sin(2 x ) ． 3
2k 2
（Ⅱ）由
2 x
3
2
，
2k （ k
）．
得
5 6
2k
2 x
6
2k
5
k
x
k ．
12
所以， f ( x ) 的单调递增区间是
[
5
12
]
k ,
k
12
（ k Z）．
12
19．（本题 15 分）
已知 {a } 是等差数列， { b } 是等比数列，
n
n
a
1
b
1
2 ， a
3
b ， a
3
a
15
b ．设 c
4
n
a b ， S
n n
n
是数列 {cn } 的前 n 项和．
（Ⅰ）求 an ， bn ；
（Ⅱ）试用数学归纳法证明：
Sn 8 (3n
4) 2
n 1
．
解：（Ⅰ）设 {an } 的公差为 d ， {bn } 的公比为 q ， 由 a b
1
1
2 ，得 a
n
2 ( n 1)d ， b
n
2qn 1
．
又由 a3
b3 ， a1
a5 b4 ，得
2 2d 2 4d
2q
2
2
n
2q
3，解得 d 3 ， q 2 ．
所以， an （Ⅱ） cn ①当 n
3n (3n
1 ， bn 2 ． 1) 2 ．
8
n
1 时， S1
(3 1 4) 28 ( 3k Sk ck 1
1
1
4 ，结论成立．
k 1
②假设当 n k 时， Sk 则当 n
8
k
1 时， Sk
k
2
4) 2
8
成立，
4) 2
1 k 1
1
( 3k
( k 1)
(3k 2 ) 2
k 1
(3 k 1) 2
8 [ 3( k 1)
4] 2
，结论也成立．
n 1
综合①②，由数学归纳法可知，
Sn 8 (3 n 4) 2
．
20．（本题 15 分）
如图，△ ABC 是边长为 2 的正三角形， △ ABD 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形． 已知 CD （Ⅰ）求证：平面
ABC
平面 ABD ；
2 ．
D
（Ⅱ）求直线 AC 与平面 BCD 所成角的正弦值．
A
B
C
（第 20 题）
z
解：（Ⅰ）取 AB 中点 O ，连 OC 、 OD ， D
则 OC AB ， OD
AB ，
所以
COD 是二面角 C
AB
D 的平面角．
在△ OCD 中，
A
O
因为 OC 3 ， OD
1 ， CD
2 ，
C
所以
COD 90 ．
x
（第 20 题）
所以，平面 ABC 平面 ABD ．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系（ O CBD ）．
则 AC
( 3 ,1,0) ， BC ( 3 , 1,0) ， BD (0, 1,1) ．
设 n ( x , y, z) 是平面 BCD 的法向量，
则 n BC
3 x y 0 3x
y z ，取 n (1, 3 , 3 ) ．
n BD
y z 0
则 | cos AC , n |
| AC n |2 321 ，即为所求．
| AC || n |
2
7
7
21．（本题 15 分）
已知椭圆
x2 y2
2
1 （ a
1 ），直线 l 经过点 P ( 0,
) 交椭圆于 A,B 两点．当
a
2
2
| AB | 2 ．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求 | AB | 的取值范围．
2解：（Ⅰ）当 l // x 轴时， A,B 的坐标是 ( 1,
) ．
2
所以
1
1 1 ， a
2
2 ，故椭圆方程为 x2
y2
1．
a 2
2
2
（Ⅱ）当 l x 轴时， | AB | 2 ．
2一般地，设 l ： y kx
， A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ．
2
B
y
l // x 轴时，
xy 8 k
2
2
2 y
2
2
(2k
由
1 2
2
( 2kx 1)
2
1) x
2
2 2kx 1 0 ．
4(2k
1)
4(4k
2
1) ， x1
x2
2 2k ， x1 x2 2k 1
2
1 2k
1
2
2．
1
| AB |
1 k
2
| x1 x2 |
k
2
1
2 4 k2k 2
2
2 (k
1)(4k 2
2
1) ．
1 (2 t
( 2k 1)2
t 1 2
令 2k
2
1 t ，则 t
1 ， | AB | 2
1)
t
2
2(
1
1)(
1t
2) ．
因为 0
1 1 ，所以 2 | AB | t
3
2 ．（当
11t
，即 t
2
t
2
2 时， | AB |max 3 2 ）
2
故， 2 | AB | 3 2 ．
2 22．（本题 15 分）
已知函数 f ( x)
2 x
3
3( m 1) x
2
6 mx 10m （ m
）．
R
（Ⅰ）若 m （Ⅱ）若 m
0 ，求曲线 y 1 ， x
f ( x) 在 x 1 处的切线方程；
[ 1,3] ，求 f ( x ) 的值域；
（Ⅲ）若 m 0 ，且当 x
解：（Ⅰ）若 m 0 ，则 f ( x) f ' ( x ) 6 x 所以曲线 y y 5
2[ 1,3] 时 f ( x) 0 ，求 m 的取值范围． 2 x3
3 x ， f (1) 5 ．
2
6 x ， f ' (1) 12 ．
f ( x ) 在 x 1 处的切线方程是：
y 7 2 x
3
12( x 1) ，即 12x 0 ．
（Ⅱ）若 m 1 ，则 f ( x) 令 f ' ( x ) 6( x 1)( x 1)
x
6 x 10 ， f ' ( x)
1 ， x2
6 x2
6 ．
0 ，得 x1
1 ． 1 0
1
0
( 1,1) -
(1,3) +
3 +
f ' ( x ) f ( x)
极大值 14 递减
极小值 6
递增
46
所以， f ( x ) 的值域是 [ 6,46]． （Ⅲ） f ( x )
2 x 3
3(m 1)x
2
6mx 10m ， f ' ( x ) 6 x
2
6(m
1) x
6m ．
令 f ' ( x) 6( x 1)( x m)
0 ，得 x1 1 ， x 2 m ．
所以 f ( x ) 在 ( 1, m) 上单调递减，在 (m , 因为当 x ①若 0 m 由 f ( m ) 所以， 0 ②若 m 而 f ( 3)
) 上单调递增．
[ 1,3] 时 f ( x )
3 ，则 f ( x )min mm
3
0 ，所以
f (m ) 0 ．
3m 2
10m 0 ，得 m(m
5)(m 2) 0 ．
2 ．
3 ，则 f ( x) min
f ( 3) 0 ．
81 35m 0 ，与 m 3 不合．
(0,2] ．
故， m 的取值范围是