发布时间 : 星期二 文章射影几何更新完毕开始阅读086c873b8f9951e79b89680203d8ce2f0066653d
毕业论文 漫谈射影几何的几种子几何及其关系
P1 ≠ P2，其齐次坐标依次为a，b，a+λ1b， a+ λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比. . 定义为
(PP12,P3P4)?称P1, P2为基点偶， P3, P4为分点偶.
?1 ?2从而可推导出若设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
(P)?1P2,P3P4(?1??3)(?2??4)
(?2??3)(?1??4)如果限于欧氏平面，则上式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即
(P)?1P2,P3P4P1P3?P2P4.
P2P3?PP14 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值. 因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比. 设(P1P2,P3P4 )=r，当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：
【1】 交换基点对与分点对的位置或同时交换基点对与分点对中亮点的位
置不改变共线四点的交比值；
【2】 仅交换基点对或分点对中二点的位置，共线四点的交比值由r变为
1/r；
【3】 仅交换交比记号中的中间或首尾二点的位置，共线四点的交比值由r变为1-r.
进而推出相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：
r,111r,1?，?1r,, rr1?rr?1 令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1，即当四点中有某二点相同时，上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 从而我们有：
共线四点的交比值出现0， 1，∞三者之一?这四点中有某二点相同. 若(P1P2，P3P4 )= –1, 则称P1，P2，P3，P4依此次序构成调和点组，并称此交比为调和比.
相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比?这四点的6个交比值只有
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3个：?1,1,2. 2 调和比是最重要的交比，对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有
(PP12,P3P4)?PPP13P?24??1，此时, 若P4?P?，则可合理地认为P2P????1，于是
P2P3PPPP?141?PP13??1，这表示P3为P1P2的中点，从而有： P2P3 设P1, P2, P为共线的通常点， P∞为此直线上的无穷远点. 则P为P1P2的中点. 它建立了线段的中点、调和比、直线平行性之间的联系. 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4) 则(p1p2,p3p4)?(PP12,P3P4)；反之，设Pi为点列l(P) 中四点，Pi与不在l上的定点S连线依次为pi (i=1,2,3,4)，则 (PP12,P3P4)?(p1p2,p3p4). 这就是说，关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶
的方式相互移植、相互转化. 从而可以得到：对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
(p1p2,p3p4)?(k1?k3)(k2?k4)
(k2?k3)(k1?k4) 进而，设直线pi与x轴正向的夹角为αi (i=1,2,3,4). 则将ki=tanαi代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
(p1p2,p3p4)?sin(p1p3)sin(p2p4)
sin(p2p3)sin(p1p4)其中(pi pj)表示由pi到pj的夹角. 由此，我们可以推出：设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线，则p3， p4为p1，p2夹角的内外平分线? (p1p2, p3p4)=–1, 且p3⊥p4 . 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.
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看线束中四直线的交比的一个简单运用： (蝴蝶定理)过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE， DF， 连结EF，CD交AB于G，H. 求证：GO=OH. 证明: 因为A, F, C, B为圆上四点，有E(AF,CB)?D(AF,CB)以直线AB截这两个线束, 得(AG,OB)?(AO,HB)利用交比
的
初
等
几
何
表
示
，
有
AOGBAHOBGBAH，所以?????GOABOHABGOOHG?OOB?AOOHOBA. O H????G?OGOOHGOOHO 在上面对交比的知识学习中我们提到了对偶的概念，在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算. 在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形. 这两个图形叫做对偶图形. 在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题. 这两个命题叫做对偶命题. 这就是射影几何学所特有的对偶原则. 在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则. 同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则.
2. 仿射几何学
根据克莱因（F·Klein）的观点，从属于拓广平面上仿射变换群的几何学就是仿射平面几何学. 即仿射平面几何学就是研究在拓广平面上仿射变换群下的不变性质的理论. 换言之，经过仿射变换不变的性质，即仿射性质，研究仿射性质的几何分支就是仿射几何.
事实上，因为无穷远直线在射影仿射变换群下保持不变，故以无穷远直线作为绝对性的仿射几何学就仿射性质而言，与摄影仿射几何学是同构的. 因而我们也常常去掉无穷远直线，直接将仿射几何学与欧氏几何学都作为摄影几何的字几何学.
仿射变换群是保持无穷远直线不变的射影变换构成的，因此它是射影群的子
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群，这也验证了仿射几何学就是射影几何学的字几何学. 显然，仿射几何的研究内容首先包含射影几何学的所有研究内容，即射影性质都是仿射变换下的不变性质. 但是此外，它必定有自己独特的研究内容而不属于射影几何.
仿射变换是保持无穷远直线不变的射影变换，也就是说它将无穷远点变为无穷远点，但是我们知道，无穷远直线上的点与欧氏平面上的平行直线祖师一一对应的，从而仿射变换必定把平性直线组变为平行直线组，所以在透视链中，若取投影中心为无穷远点，则中心射影即为平行射影. 因此仿射对乃是有限次平行投影的结果. 总之，仿射变换保持平行性不变.
设P1, P2为通常直线上的两个相异的通常点, P为该直线上任一通常点. 定义(PP12P)?PP1为P1，P2 ，P的简单比，或称单比. 称P1, P2为基点，P为分
P2P点. 设P1，P2 ，P为通常直线l上的三个通常点，P∞为l上的无穷远点，则有(P1P2P)=(P1P2, PP∞). 由(P1P2P)=(P1P2, PP∞)立即可见平面上共线三点的单比是仿射不变量，我妈妈更可进一步证明仿射变换保持单比不变，即单比是仿射不变量. 且我们说单比是最基本的仿射不变量.
除了拥有射影几何的所有不变性和不变量外，仿射几何特有的基本不变性就是平行性，基本不变量就是共线三点的单比. 其余所有的仿射不变性和不变量都是能够由此推到出来的性质和数量. 比如，我们可以推导出：平行线短的的比，两个三角形的面积之比等等都是仿射不变量；线段的中点，三角形的重心，梯形，平行四边形等等都是仿射不变图形.
3. 欧氏几何学
根据克莱因（F·Klein）的观点，从属于欧氏平面上正交变换群的几何学就是欧氏平面几何学. 即欧氏平面几何学就是研究在欧氏平面上正交变换群下的不变性质的理论. 换言之，经过正交变换不变的性质，即为度量性质，研究度量性质的几何分支就是仿射几何.
我们把射影平面上的一条直线特殊化（例如保持无穷远直线不变），得到了仿射平面，特殊直线l∞上的点不再是仿射平面上的点，使l∞不变的直射是仿射平
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