发布时间 : 星期二 文章线性代数第一章习题答案更新完毕开始阅读088fbe6eaf1ffc4ffe47acb8
a1n?10a2?00??00?11?（其中X?1?an?1Xnn?1rn??i?1anairi0?00?i?1anai）
??an?10n?1?a1a2?an?1(1?an?an?i?11ai)?a1a2?an(1??i?11ai)．
（5）对第n?1行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第１行，共需交换n次．再把新的第n?1行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第２行，共需交换n?1次．依次类推，经
n?(n?1)???1?n(n?1)2次行交换，得
1n(n?1)1a?1?(a?1)n?1n??????1a?nDn?1?(?1)2a?an?1n
n?1n(a?n)a(a?1)(a?n)此行列式为范德蒙德行列式
n(n?1)Dn?1?(?1)2?[(a?i?1)?(a?n?1?i?j?1j?1)]
n(n?1)n(n?1)?(?1)?2?[?(i?n?1?i?j?1n?(n?1)???1j)]?(?1)2?(?1)2??[(i?n?1?i?j?1j)]
?(i?n?1?i?j?1j)．
bn??a1c1?b1d1?dnbn?1??a1b1d1?dn?1?00dnc1??0an（6）D2n?
cnan?10an?1?a1b1d1??c1?cn?1bn?1按第一行展开ancn?10?(?1)2n?1bn
dn?10cn都按最后一行展开andnD2n?2?bncnD2n?2，
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由此得递推公式
D2n?andn?bncn)D2n?2，
n所以 D2n??(adii?2i?bici)D2，
而 D2?a1c1nb1d1?a1d1?b1c1，
所以 D2n?
?(adii?1i?bici)．
习 题 1-5
1．用克拉默法则解下列方程组： ?2x1?x2?5x3?x4??6x4?x1?3x2（1）?2x2?x3?2x4??x?4x?7x?6x234?1???（3）????x1?x2?x3??x1?x2?2x3?3x4??9?3x1?x2?x3?2x4；（2）???5?2x1?3x2?x3?x4?x?2x?3x?x?0234?1?8?1??4??6??4；
x4?5x1?2x2?x3?4x4??23x1?x2?2x3?11x4?02x1?3x2?21?324?50?1?7?50?1?7101289?501?3241012101．
x3?5x4??2?50?1?71?62689?50?27，
??108， D3?1?6262101?27， D1?89?501?3241?32489?50?50?1?71?626??27 1?626?81，
解 （1）D?D2?D4?由克拉默法则知，方程组的解为
DDDDx1?1?3，x2?2??4，x3?3??1，x4?4?1．
DDDD11231123（2）D?32118
?132?1?13?2?1?1??153， D1??4?6?4?132?1?13?2?1?1?153，
1D2?3211D4?3211?4?6?41?1322?1?132?1?133?2?1?11?4?6?4??153；
?153， D3?13211?1321?4?6?43?2?1?1?0，
由克拉默法则知，方程组的解为
DDDDx1?1??1，x2?2??1，x3?3?0，x4?4?1．
DDDD11115111（3）D?1321D2?1321D4?1325?20?2121?321?31?12?11?12?1?12?11411?55?20?2??142， ?284， D3?411?5?142，D1??20?21132121?321?35?20?2?12?1411?51411?5?426， ?142
由克拉默法则知，方程组的解为
DDDDx1?1?1，x2?2?2，x3?3?3，x4?4??1．
DDDD232．设曲线y?a0?a1x?a2x?a3x通过四点(1,3),(2,4),(3,3),(4,?3)，求系数a0,a1,a2,a3．
解 由于曲线过四点，所以有
?a0??a0??a0?a?0?a1?a2?a3?3?2a1?4a2?8a3?4?3a1?9a2?27a3?3?4a1?16a2?64a3??33?12，D1?43?31?24，D4?111123412341491614916182764343?319
而
1D?1111D3?111
1234123414916343?31827641827641?36，D2?111343?314916182764??18，
??6，
所以
a0?D1D?3，a1?D2D??32，a2?D3D?2，a3?D4D??12．
?(k?1)x1?kx2?03．证明：对任意实数k，线性方程组?只有零解．
??2x1?(k?1)x2?0证明 因系数行列式
D?k?1?2kk?1?(k?1)?2k?k22?1?0，
所以线性方程组只有零解．
?(5??)x1?2x2?2x3?0??0有非零解？ 4．问?取何值时，齐次线性方程组?2x1?(6??)x2?2x?(4??)x3?01?解 系数行列式
5??D?22226??0204???(5??)(6??)(4??)?4(10?2?)
?(5??)(??10??24?8)?(5??)(??2)(??8)，
当D?0时，即??5,??2,??8时，齐次线性方程组有非零解．
??x1?x2?x3?0?5．问?,?取何值时，齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解？
?x?2?x?x?023?1
解 系数行列式
?D3?11111?????， 1?2?当D?0时，即??0或??1时，齐次线性方程组有非零解．
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