发布时间 : 星期二 文章北京工业大学概率论与数理统计2012-2013考题(原题加答案)更新完毕开始阅读08d7e493284ac850ad024246
北京工业大学2012-2013学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号 姓名 成绩
注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。数据结果保留3位小数。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛
骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。考试日期：2013年1月日
一、（10分）欲对某班《数理统计与随机过程》的期末考试成绩作分析。假设这门课成绩X (单位：分)服从正态分布N(?,?2)。若班级平均成绩在75分以上则认为该班成绩良好。现从该班中随机抽取9名同学，得到他们成绩的平均分为78.44，标准差为11.40。请根据以上结果回答如下问题：
（1）取显著性水平?=0.05，分别给出下述两个问题的检验结果：
检验问题I“H0: ??75，H1: ??75” 检验问题II“H0: ??75，H1: ??75” （2）对以上结论你如何解释？ 二、（15分）将酵母细胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小格内的酵母细胞数X，共观察了413个小方格，结果见下表。试问根据该资料，X是否服从Poisson分布？(显著性水平取??0.05) 方格内细胞0 1 2 3 4 5 6 7 数 实际方格数 103 143 98 42 18 6 2 1 三、（15分）某公司在为期8个月内的利润表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 利润 1.88 2.15 2.09 2.30 2.26 2.39 2.62 2.58 (1)求该公司月利润对月份的线性回归方程；(2)对回归方程进行显著性检验：（取
；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11月利润的预测区间（取??0.05）。??0.05）
(本题计算结果保留两位小数)。
四、（15分）某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。今将每种型号的报警器随机抽取5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下：
报警器型号 反 应 时 间 A型 5.2 6.3 4.9 3.2 6.8 B型 7.4 8.1 5.9 6.5 4.9 C型 3.9 6.4 7.9 9.2 4.1 D型 12.3 9.4 7.8 10.8 8.5 （1） 各种型号的报警器的反应时间有无显著性差异？（显著性水平??0.05） （2） 如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，求均值差?A??B的置信
水平为95%的置信区间。 五、（15分）设{N(t),t}是强度为的Poisson过程，试求 (1) P{N(1)<2};
(2) P{N(1)=1 且 N(2)=3}; (3) P{N(1)≥2|N(1)≥1}.
1,2,3?，一步转移概率矩阵为 六、（15分）设?Xn,n?0?为时齐马氏链，状态空间I???0?P=?0.5?0.5?0.500.50.5??0.5? 0??初始分布P（X0=1）=P（X0=2）=0.25。
(1)求P（X0=1,X1=3,X3=2, X4=3）的值； (2)求P（X0=3 ,X3=1| X1=1, X2=2）的值；
(3)判断?Xn,n?0?是否为遍历的，请说明理由；若是遍历的，求其平稳分布。 七、（15分）设有随机过程X(t)?Acos(?t??)，式中A是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度函数为：
x?x?2?2?e,x?0 f(x)???2
?0, x?0??~U(0,2?)，且?与A相互独立，?为常数，证明X(t)为平稳过程。
2（提示：X,Y是相互独立随机变量，且f(x),g(y)是连续函数，则f(X),g(Y)仍然是相互独立的随机变量。）
一、解：（1）由书中结论知，检验问题I的拒绝域为
X?75?t?(n?1) S/n检验问题II的拒绝域为
X?75??t?(n?1) S/nX?7578.44?75而由题设知X?78.44，S?10.4，n?9，故??0.905
11.4/3S/n查表得t?(n?1)?t0.05(8)=1.8595。
由此易见，两个检验问题的检验结果都是“接受原假设H0”。
（2）表面上看，这两个结论是对立的。但是，由于考虑到显著性检验只控制了犯第一类错误的概率，因而接受原假设时，犯第二类错误的概率可能很大，故此时的检验结果不是都很可信，因而从这个意义上来说并不矛盾。
??0*103?1*143???7*1?1.41889 二、解：?413 ?i ?i ?i Ai pnpfi fi2/npA0 A1 A2 103 143 98 42 18 6 2 1 9 0.24198 0.34335 0.24359 0.11521 0.04087 0.01160 0.00274 0.00067 99.939 141.802 100.601 47.58 16.878 4.79 1.133 0.278 6.201 106.1548 144.2081 95.4663 37.0744 19.1966 13.0624 A3 A4 A5 A6 A7 ??415.1626 并组后 k=6。而此处 r?1, 故?2分布自由度为k?r?1=4。而 415.1626?413?2.1626=???(0.05)?9.488224
三、解答： x 1 2 3 4 y 1.88 1 2.15 4 2.09 9 2.30 16 xy 3.5344 1.88 4.6225 4.30 4.3681 6.27 5.29 9.20 5 6 7 8 2.26 25 2.39 36 2.62 49 2.58 64 18.27 204 5.1076 11.30 5.7121 14.34 6.8644 18.34 6.6564 20.64 42.1555 86.27
1?812?2Sxx??xi???xi??204?36?42n?i?1?8i?181?81??8?Sxy??xiyi???xi?.??yi??86.27?36?18.27?4.055 n?i?1??i?1?8i?182sxy?b??0.09656sxx11??a?y?bx??18.27?0.09655??36?1.8493.88
??1.8493?0.09656x?(1)得经验回归方程为:y（2）对回归方程进行检验：
2Syy??yi2?i?181?1?2y?42.1555?18.27?0.43139?i??n?i?18?8?Qe?Syy?bSxy?0.43139?0.09656?4.055?0.039842垐???Qe0.60989??0.00664;??0.081486n?26Sxx?
0.0965642?7.6853??0.081486t?(n?2)?t0.025(8)?2.306t?2?b?t?t?(n?2)?拒绝原假设,回归方程很显著。2