发布时间 : 星期一 文章高中数学_平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思更新完毕开始阅读09558f9452e2524de518964bcf84b9d528ea2cc8
2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
一、 背景分析 1、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。 2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是较难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。 二、教学目标 1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。 2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系。 （2）通过向量数量积定义的得出，体会简单归纳与严谨定义的区别。
（3）通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。
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3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。 三、 教学重点、 难点 重点：平面向量数量积的定义
难点：平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。 四、 教学基本流程
概念引入 概念获得 简单运用 反思提高 五、教学准备
理解掌握 算律探究
1、实验教具：计算机、黑板、粉笔
2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。 六、教学过程 教学环节 回顾1.我们已经学过哪些向量的运算？ 学生思考回答 承前启后回顾已学习的向量相关知识。同时调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性。 教师提出问题，学生思考。教师引导学生理解数量积的定义。
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教学内容 师生互动 设计意图 旧知 2.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？ 引入 以物理学中的做功为背景引入 使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义
思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移回答后归纳夹角特征：两个的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。使学生在形式上认识数量积的定义。 s，且力F与位移s的夹角为θ，那向量同起么力F所做的功W是多少？ 力做的点，若不功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的同起点平夹角 移至同起思考2：力F在位移方向上的分力是点。 多少？ （2）思考3：力做功的大小与哪些量有关系？ 功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，能否把“功”看成两个向量的一种运算的结果？ 小结：向量的数量积的定义及夹角的特征。 定义数量积的定义：对于两个非零向量a教师提出形成 与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱问题，学探究cosθ叫做a与b的数量积（或内积），生思考。（一记作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cos教师可在）:平θ. 学生回答这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性。让学生体会数学的概括性、严谨性及可操作性。 面向投影的定义：对于两个非零向量a的基础上量数与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫进一步归量积做向量a在b方向上的投影.那么该纳夹角对的背投影一定是正数吗？向量b在a方向投影的正景与上的投影是什么？ 负情况的含义 几何意义：对于两个非零向量a与b，影响，加设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几深学生对何意义如何？ 投影的认 3
小结：向量的几何意义及投影的概念 识。 思考4：那么a·b的运算结果是向 量还是数量？ 思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？ 理论例1已知a?5，b?4，a和b的夹迁移 orrrr学生通过计算巩固对定自己动手义的理解。 rr角为120，求a?b？ 简单应rrrr变式1. 已知a?2，b?4，若a//b，rrrrrr求a?b；若a?b，求a?b. rrrra?b=43，变式2.已知a?2，b?4，用。 求a与b的夹角?. 定义思考1：设a与b都是非零向量，若学生自己体现了教师只是教深化a⊥b，则a·b等于多少？反之成立回顾、探学活动的引领者，探究吗？ 索、总结，而学生才是学习活rr（二）思考2：当a与b同向时，a·b等于并发表自动的主体，让学生：平面什么？当a与b反向时，a·b等于己的看成为学习的研究向量什么？特别地，a·a等于什么？ 法，教师者，不断地体验到数量思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大可对学生成功的喜悦，激发积的小关系如何？为什么？ 进行点学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质. 运算小结：向量特殊位置关系（垂直、共拨。 性质 线）下的数量积的特征。 a⊥b a·b＝0 a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时， a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝?a2 4