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淮南师范学院2014届本科毕业论文
论复变函数中支点的地位与作用
学生：王艳丽（指导老师：霍玉洪） （淮南师范学院数学与计算科学系）
摘要：本文先对支点的定义进行介绍，再介绍无穷远点的引入及其相关知识点并
结合例题加以说明支点在复变函数中的地位与作用。紧接着介绍支点在多值函数中的应用和有限支点在复变函数中的作用，最后再通过相关定理及例题说明支点在留数中的应用。 关键词:支点；有限点；无穷远点；留数
The position and role of the functions of a complex
variable fulcrum
Student: Yanli Wang (Faculty Adviser: Yuhong Huo)
(Department of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University) Abstract: The paper introduce defines of fulcrum firstly, and then introduce
the infinite point and related knowledge. Soon afterwards it combines with examples to illustrate the fulcrum in complex status and function. And then introduce the fulcrum in the application of multi value function and limited fulcrum in the complex variable function. In the end, it adopts the relevant theorems and examples to illustrate the application of the fulcrum in the residue.
Keywords: fulcrum; the finite point; infinite point; residue
引言
如果把实数域中的初等函数推广到复数域中，那么这些初等函数的性质也会跟着其发生相应的一些变化，譬如根式函数w=nz和对数函数w=lnz都变成了多值函数。在多值函数的复平面上，如果用简单曲线把该多值函数的全部支点依次连接起来并沿着它割破z平面，那么割破了的z平面就构成了一个以这条割
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论复变函数中支点的地位与作用
线为边界的区域，记作G，因此在G内就可以分出该多值函数的单值解析分支。然而我们在G内任意选取一点z0，并指定z0的一个辐角值，那么在G内任意的点z,均可由z0的辐角，连续变化而唯一确定z的辐角。
当把数学分析中的初等函数的解析推广到复数域时,然而就会有些单值函数 (譬如lnx)随之派生出多值函数，而那些原本应该属于实数域中的多值函数就会随之变为复数域中的多值函数，由此可以看出，当且仅当在复数域内讨论这些多值函数才可以真正的体现出它们的真实本质。
因此在复变函数论中，多值函数的讨论占有重要位置，可见支点在复数函数中的重要性和地位。
1预备知识
1.1支点的定义
定义：若存在一点a（可以是∞），设多值函数f(z)在该点的某一充分小的去心邻域G-{a}内有定义,如果对于G-{a}中的任意一条不包含a的简单封闭曲线L，当变点z从L上一点出发，绕简单闭曲线L连续变动一周而回到其出发点时，此时f(z)的函数值没有发生变化，反之，若总存在一条包围点a的简单闭曲线
L，使得当变点z绕a点旋转一圈时，使多值函数f(z)从其一支变为另一支,也就是说，当变点z回到其出发点的位置时，函数值与原来值相异，那么我们就称点a为f(z)的一个支点[1]。 1.2 无穷远点（∞的引入）
我们都知道，复数有一种几何表示法, 即任何一个复数都可以用复平面上的一个点来表示，如果借用地图制图学中将地图投影到坐标平面上的测地投影法,可以建立复平面与球面上的点的对应[2]。故，我们就用这种对应关关来说明复变函数中引入∞的合理性。
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淮南师范学院2014届本科毕业论文
图1 引入∞的示意图
如上图1所示，取
一个与z平面相切并且过原点O的球面,现过点O作一条垂
直于z平面的直线且与球面相交于一点N，任取z平面上的一点z与点N相连而成一条直线段,那么，此线段必交球面于一点，记为P(z)。因此,复平面上的点与球面上的点(点N除外)建立起一个一
一对应关系。
z平面上一个以原点O为中心的圆周C对应球面上一个圆周。当圆周C的半径越来越大时,圆周C就会越来越靠近于点N，故我们把点N看作是一个与z平面上的模为无穷大的假想点相对应,所以我们就把这个假想点叫做无穷远点，因此，在复平面加上无穷远点后，复平面就变成了扩充复平面,然而与其对应的就是整个球面,故我们称这个球面为复球面。换句话说,这个扩充复平面的几何模型就是复球面，所以扩充复平面上的这个假想的无穷远点就会随之对应一个假想的复数。我们称这个假想的复数为无穷。在复变函数中，由于点和数不可区分,所以无穷和无穷远点就不可以区分,故都记作∞[3]。
定义1 设在解析区域D内有一点a使复变函数f(z)在此点处的值为零，则称点ａ为解析函数f(z)的零点[4]。
定义2 若函数f(z)在点z0不解析，但在z0的任一领域内总有f(z)的解析点，则称z0为函数f(z)的奇点[5]。
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定义3 设复变函数f(z)在点a的去心邻域：０＜｜ｚ－ａ｜＜R 内解析点ａ为奇点，则称点a为函数f(z)的孤立奇点[6]。
定义4 设有限点a为复变函数f(z)的孤立奇点，即复变函数f(z)在点a的去心邻域：０＜｜ｚ－ａ｜＜R 内解析,则称积分
12?i??f(z)dz（?:｜ｚ－ａ｜=?，0
z?a为复变函数f(z)在点a的留数（residue）记为Resf(z)[7].
2支点在多值函数中的作用
2.1 在多值函数中的作用
为了说明支点在多值函数中的作用，下将分别以支点在可单值分支中的作用和支点在单值解析分支中的作用加以说明。 2.1.1支点在作可单值分支中的作用
连接所有支点的Jordan曲线为支割线，将复平面沿支割线割开所得的区域为可单值分支区域。在实际问题中，我们总是想使可单值分支区域更大一点，从而使取得得割线更短一些[8]。例如：
（1）log F（z）的可单值分支区域
如果函数F(z)可以分解为F(z) =F1(z)F2(z)（其中函数F1(z)为一有理式，F1(z)的分子分母次数相同且F1(z)本身不能再作类似的分解），此时我们只需将F1(z)的所有相关的支点（?点除外）连接起来，就可以分出log F1(z)的单值分支。又因为log F（z） = log F1(z) +log F2(z)，所以我们只需要考虑log F2(z)的多值性。利用以上的方法，再分解F2(z)，如此进行下去，就可以得到 log F（z）的最大可单值分支区域。
(2)nR(z) 的可单值分支区域
已知R1（z）为一有理式，且其分子次数与分母次数之差为n的整数倍，而且R1（z）本身不能分解, 若存在R2(z)使R(z)分解为R(z) = R1（z）R2(z)，那么
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