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解析几何专题讲座
题型一 圆锥曲线的概念及性质
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【例1】椭圆xy
a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P
满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.?
?
0，2?2? B.??0，12?? C．[2－1,1) D.?1?2，1??
又e＝c
a，∴2e2＋e≥1，∴2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0，又0 ∴1 2 ≤e<1，故选D. 答案：D 拓展提升——开阔思路 提炼方法 圆锥曲线的性质是高考的必考内容，常以选择、填空形式考查，也在大题中考查，重点 考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线． 变式1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． (1)设椭圆方程为x2y2 解：a2＋b2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n. 在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°. ∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， ∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤?m＋n??222?＝a(当且仅当m＝n时取等号)， 2 ∴4a2－4c2≤3a2，∴c111 a2≥4，即e≥2，∴e的取值范围是??2，1??. (2)证明：由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1321F2＝2mnsin 60°＝3b， 即△PF1F2的面积只与短轴长有关． 题型二 圆锥曲线的方程 【例2】设椭圆C： x2y2a2?b2?1(a?b?0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点 0????????直线l的倾斜角为60,AF?2FB (1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|＝15 4 ，求椭圆C的方程． 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0. (1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2. ??y＝3?x－c?，联立?x2y2 得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4 ＝0. ??a2＋b2＝1 解得y－3b2?c＋2a?－3b2?c－2a?1＝3a2＋b2，y2＝3a2＋b2. 因为→FA＝2FB→ ，所以－y1＝2y2. 2 2 即3b?c＋2a?－3b?c－2a?c23a2＋b2＝2·3a2＋b2得离心率e＝a＝3. (2)因为|AB|＝ 1＋13|y－y243ab215 21|，所以3·3a2＋b2＝4. 由ca＝23得b＝5515 3a，所以4a＝4，得a＝3，b＝5. x2椭圆C的方程为y2 9＋5 ＝1. 拓展提升——开阔思路 提炼方法 求圆锥曲线的方程常利用圆锥曲线的定义或待定系数法求解，但要注意焦点所在坐标轴，避免漏解． 题型三 热点交汇 22 【例3】)已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：xy a2＋b2＝1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆 C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝10 3 分别交于M，N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)求线段MN的长度的最小值． (1)解：如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(－2,0)， 上顶点为D(0,1)，即a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为x22 4＋y＝1. (2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为 y＝k(x＋2)(k>0)，解得M?1016k?3，3? ?，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k2 )x2 ＋16k2 x＋16k2 －4＝0. 设S(x16k2－41，y1)，由根与系数的关系得(－2)·x1＝1＋4k2. 2－2 2 由此得x8k4k?2－8k1＋4k＝1＋4k2，即S?1＋4k2，4k1＝2，y1?1＋4k2?. 又B(2,0)，则直线BS的方程为y＝－1 4k(x－2)， 联立直线BS与l的方程解得N?101?3，－3k??. ∴|MN|＝?16k?＋1?16k1 16k33k?＝3＋3k ≥23·18 3k＝3 . 当且仅当 16k113＝3k，即k＝4时等号成立，故当k＝14时，线段MN的长度的最小值是83 . 拓展提升——开阔思路 提炼方法 (1)以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以不等式或导数为工具，考查圆锥曲线的最值、参数范围、不等式论证等问题，是近年高考的热点内容．这类问题综合性强、能力要求高、解法灵活，值得关注． (2)本题涉及到最值问题时，可先建立问题(即面积)的函数关系式，然后根据其结构特征，运用函数的单调性或基本不等式去获解．求解时应掌握消元技巧，尽量利用根与系数的关系去简化解题过程，提高运算速度和准确度． 题型四 直线与圆锥曲线的位置关系 22 【例4】 已知椭圆C：xy6a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为3 ，短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32 ，求△AOB面积的最大值． ??c 2解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意?a＝63，∴b＝1，∴所求椭圆方程为x＋y2 ??a＝3， 3 ＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当AB⊥x轴时，|AB|＝3. ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知 |m|＝ 3，得m2＝3 1＋k2 (k224 ＋1)． 把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2 ＋1)x2 ＋6kmx＋3m2 －3＝0， 2 ∴x－6km3?m－1? 21＋x2＝3k2＋1，x1x2＝3k2＋1 . ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)＝(1＋k2)· ?36k2m2 ?m2－1?2?222－123k2＋1?＝12?k＋1??3k＋1－m???3k2＋1??3k2＋1?2 3?k2＋1??9k2＋1?12k2＝12?3k2＋1?2＝3＋9k4＋6k2＋1 ＝3＋ 9k2 ＋1≤3＋12 2×3＋6＝4(k≠0)． k 2＋6 当且仅当9k2＝13 k2，即k＝±3时等号成立．当k＝0时， |AB|＝3，综上所述|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S＝12×|AB|33max×2＝2. 拓展提升——开阔思路 提炼方法 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题对于直线与圆锥曲线的交点可利用“设而不求”的 办法，可利用一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系进行过渡，解决的常见问题有：弦长、弦的中点、垂直、三点共线等等． 题型五 圆锥曲线中的探索性问题 【例5】 (2010·福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． C的方程为x2解：解法一：(1)依题意，可设椭圆y2 a2＋b2＝1 (a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)． 从而有???c＝2， ?? 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， 解得? ??c＝2，?? a＝4. a2 ＝b2 ＋c2 ，所以b2 ＝12，故椭圆C的方程为x2y2 又16＋12＝1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝3 2 x＋t. y＝3 2 x＋t， 由???x2 y 2 16＋12＝1 得3x2＋3tx＋t2 －12＝0. 因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0， 解得－43≤t≤43. 另一方面，由直线OA与l的距离d＝4可得 |t|9 ＝4，从而t＝±213. 4 ＋1由于±213?[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在． 解法二：(1)依题意，可设椭圆C的方程为 x2y2 ??492＋2＝1a2＋b 2＝1(a>b>0)，且有：?ab， ??a2－b2＝4. 解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的方程为x2 2 16＋y 12＝1. (2)同解法一． 题型六 热点交汇 【例6】已知两点M（-2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影是H，如果PH→·PH→，PM→·PN → 分别是公比q＝2的等比数列的第三、第四项． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点A，B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，－2)的直线交x轴于点D(x0,0)，求x0的取值范围． (1)解:P(x,y),则H(0,y),????PH?(?x,0),????PM??(?2?x,?y),???PN??(2?x,?y设????PH????x,????PM?????)?PH?2?PN?x2?y2?又?P????M?????4 ?????????PN?x2?2PH?PH2则有y?4x2?2∴点P的轨迹方程为y2－x2＝4(x≠0)． (2)当k＝±1时，不成立．设直线AB的方程为：y＝k(x－2)，A(x1，y1)， B(xy＝x1＋x22，2)，R(x3，y3)，其中x32， yy1＋y2 3＝ 2 . 由? ??y＝k?x－2?，2222 ?y2 －x2 ＝4，(k－1)x－4k? 化简得x＋4(k－1)＝0， ∴y31 y＋2y3＋2x＝，∴DQ的方程为＝. 3kxx3令y＝0，得2y3x＝＋2＝1＋2， 0x3kx3∴x20＝ 1＝2 . k＋2·k2－1112k －?k－2??2＋ 52?4又由Δ＝16k4－16(k2－1)2＝32k2－16>0，y1＋y2<0， y1·y2>0，可得22 k <2， ∴2－1<－?11k－2??2＋5 ?4<1， ∴2 变式1．如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn(n＝1,2，?)，其对角线BnDn依次放置在x轴上(相邻顶点重合)．设{an}是首项为a，公差为d(d>0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0)． (1)当a＝8，d＝4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上； (2)在(1)的条件下，证明：所有顶点A2 n均落在抛物线y＝2x上． (3)为使所有顶点A2 n均落在抛物线y＝2px(p>0)上，求a与d之间所应满足的关系式． 解析几何训练题 2（1）设双曲线x2a2?yb2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率 等于( ) A.3 B.2 C.5 D.6 （2）已知椭圆C:x22????????2?y?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线段AF交C于点B，若 FA?3FB,则?????|AF|=( ) A. 2 B. 2 C.3 D. 3 （3）（2009浙江理）过双曲线 x22a2?yb2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线 与双曲线的两条渐近线的交点分别为????B,C．若AB?1????BC，则双曲线的离心率是 ( )2 A．2 B．3 C．5 D．10 2Fx2（4）设1和F2为双曲线 a2?yb2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形 的三个顶点,则双曲线的离心率为 A．32 B．2 C．52 D．3 22（5）已知双曲线 x22?y2?1的准线过椭圆 x24?yb2?1的焦点，则直线y?kx?2与椭圆至多有 一个交点的充要条件是( ) A. K??11???,? B. K?????,?1??1????,???22??2? ??2?C. K????22?2? D. K????,?2???2,??? ?2,????2????2???22（6）已知双曲线C：xya2?b2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于 A、B两点，若AF?4FB,则C的离心率为 ( A．6 B. 75955 C. 8 D. 5 （7）抛物线y??x2上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是（ ） A． 43 B． 75 C． 85 D．3 （8）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ） A.（－∞，0） B.（－∞，2] C.［0，2］ D.（0，2）