发布时间 : 星期二 文章江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题 数学试题(含答案)更新完毕开始阅读09d39b1e1b2e453610661ed9ad51f01dc3815761
南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题
第Ⅱ卷（选做题，40分）
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M＝?（1）求M2；
2 1?
? 1 2?．
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系(?, ?) (0≤??2π)中，求曲线??2sin?与?cos??1的交点Q的极坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．
（1）求p的值；
y l B P O A （第22题）
C M x （2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．
l1 l2
23．（本小题满分10分）
对于给定正整数n，设(1?x)n?a0?a1x?a2x2???anxn，记Sn??1．
ak?0kn（1）计算S1，S2，S3，S4的值； （2）求Sn．
南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（必做题，160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．?2,4 2．二 3．6 4．5 5．?2,0? 6．
??5253? 7． 8． 8239．12 10．?0,1?12?4,?? 11 12 ．．???59??13．?1,11 14．?????3??ln2,0? ?2?二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）
abc
解：（1）由正弦定理＝＝＝2R ，得a＝2RsinA ，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
sinAsinBsinCccosA
代入acosB＋bcosA＝，得 (sinAcosB＋sinBcosA) cosC＝sinCcosA，…………2分
cosC
即sin(A＋B)cosC＝sinCcosA．
因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC， 所以sinCcosC＝sinCcosA，…………4分
因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA． 又因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C．…………6分
a2＋c2－b2a2－2
（2）由（1）知，因为A＝C，所以a＝c，所以cosB＝＝2．…………8分
2aca→→因为BA·BC＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3．…………10分 1
所以cosB＝．…………12分
3
22
因为B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝．…………14分
316．（本小题满分14分）
解：（1）因为AD∥平面BCC1B1，AD?平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC， 所以AD∥BC．…………4分
又因为BC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1， 所以BC∥平面ADD1A1．…………6分
（2）由（1）知AD∥BC，因为AD⊥DB，所以BC⊥DB，…………8分 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，BC?底面ABCD， 所以DD1⊥BC，…………10分
又因为DD1?平面BDD1B1，DB?平面BDD1B1，DD1∩DB＝D， 所以BC⊥平面BDD1B1，…………12分 因为BC?平面BCC1B1，
所以平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．…………14分 17．（本小题满分14分）
解：（1）连接AB，因为正方形边长为10米， 所以OA?OB?AB?10，则?AOB??3AB?，所以?10?，…………2分 3
所以广场的面积为(?110350???10??102)?102??100?253 2343答：广场的面积为
50??100?253平方米．…………6分 3（2）作OG?CD于G，OK?AD于KG，记?OAK??， 则AD?2DG?2OK?20sin?，…………8分 由余弦定理得OD?OA?AD?2OA?ADcos?
222?102?(20sin?)2?2?10?20sin?cos??100?400?1?cos2??200sin2? 2?300?2002sin(2??45o)?100(2?1)2，…………12分
所以OD?10(2?1),当且仅当??22.5时取等号， 所以OA?OB?OC?OD?20?20(2?1)?202， 因此求4条小路的总长度的最小值为202米．
答：4条小路的总长度的最小值为202米．…………14分 18．（本小题满分14分）
解：（1）设椭圆的焦距为2c (c＞0)． c1a2
依题意，＝，且＝4，解得a＝2，c＝1．
a2c故b2＝a2－c2＝3．
x2y2
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．…………4分
43
x2y2x2y2
（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1＋1＝1，2＋2＝1．
4343
(x1－x2)(x1＋x2)(y1－y2)(y1＋y2)11y1－y2y1＋y2
两式相减，得＋＝0，＋··＝0，
4343x1－x2x1＋x21113
所以＋·k·(－)＝0，得k＝． …………8分
4322
o