发布时间 : 星期六 文章江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题 数学试题(含答案)更新完毕开始阅读09d39b1e1b2e453610661ed9ad51f01dc3815761
1·|AF|·|y1|2S133|y1|1
（3）由题意，＝，即＝，整理可得＝，…………10分
S2212|y2|2
·|BF|·|y2|2→→所以NF＝2FM．
?1－x2＝2(x1－1)?x2＝3－2x1?代入坐标，可得，即?．…………12分 ?－y2＝2y1?y2＝－2y1
x12y127
＋＝1x1＝434
又点M，N在椭圆C上，所以，解得．
3(3－2x1)2(－2y1)2
y＝ 5 ＋＝1
843
?
?????
735所以M的坐标为(，)．…………16分
4819．（本小题满分16分）
1a1
解：（1）f′(x)＝－2，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝lnx－＋1，
xxx此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)， 代入切线方程，得b＝－2， 所以a＝－1，b＝－2．…………2分
ax2＋x－aa1a
（2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′(x)＝－2＋a＝．
xxxx211
①当a＝0时，g′(x)＝＞0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，
x21
则g(x)在区间(0，)上无最小值．…………4分
2
②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，
由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2． 设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0)， （i）若a＞0，
211a1
若x2∈(0，) ，则m(0)＝－a＜0 ，m()＝＋－a＞0 ，解得0＜a＜．
322421
此时x∈(0，x2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；x∈(x2，)时，m(x)＞0，则g(x)递增，
2当x＝x2时，g(x)取极小值，即为最小值．
111
若x2≥，则x∈(0，)，m(x)＜0，g(x)在(0，)单调减，无最小值．…………6分
222（ii）若a＜0，
此时x∈(0，x2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；x∈(x2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减， 1
在区间(0，)上，g(x)不会有最小值．
2所以a＜0不满足条件．
21
综上，当0＜a＜时，g(x)在区间(0，)上有最小值．…………8分
32（3）当a＝0时，由方程f(x)＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0， 记
h(x)＝lnx＋1－bx2，x＞0，则
－2bx2＋11
h′(x)＝－2bx＝．
xx
①当b≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数， 则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根， 所以b≤0不符合题意．…………10分 ②当b＞0时， 当x∈(0，当x∈(1)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增； 2b
1，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减， 2b
1)＝ln2b
11＋． 2b2
则h(x)max＝h(
要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根， 则h(1)＝ln2b
11e
＋＞0，解得0＜b＜．…………12分 2b22
e1b
（i）当0＜b＜时，h()＝－2＜0．
2ee1
又()2－(
e
122b－e21)＝＜0，则＜2b2be2e
1， 2b
1
所以存在唯一的x1∈(，e1)，使得h(x1)＝0．…………14分 2b
11111e
（ii）h()＝ln＋1－＝－lnb＋1－，记k(b)＝－lnb＋1－，0＜b＜，
bbbbb2111－be
因为k′(b)＝－＋2＝2，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，
bbb21
则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0．
b
1又()2－(b122－b1)＝2＞0，即＞2b2bb1， 2b
所以存在唯一的x2∈(11
，]，使得h(x2)＝0， 2bb
e
综上，当0＜b＜时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．…………16分
220．（本小题满分16分）
解：（1）①若??1，因为anSn?1?an?1Sn?an?1??an， 则?Sn?1?1?an??Sn?1?an?1，a1?S1?1． 又∵an?0，Sn?0， ∴
Sn?1?1an?1?，
Sn?1anSn?1?1a2a3an?1S2?1S3?1?????????????∴， S1?1S2?1Sn?1a1a2an化简，得Sn?1?1?2an?1．① ∴当n?2时，Sn?1?2an．② ②－①，得an?1?2an，即
an?1?2?n?2?． an∵当n?1时，a2?2，n?1时上式也成立，
n-1∴数列?an?是首项为1，公比为2的等比数列，an=2．…………4分
②因为bn??n?1?an，∴bn??n?1??2n?1．
012n?2n?1所以Tn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2， 123n?1n所以2Tn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2，
所以?Tn?2?2?2?L?212n?12(1?2n?1)?(n?1)?2?2??(n?1)?2n??n?2n，
1?2nn所以Tn?n?2．…………8分
（2）令n?1，得a2???1．令n?2，得a3????1?． 要使数列?an?是等差数列，必须有2a2?a1?a3，解得??0． 当??0时，Sn?1an??Sn?1?an?1，且a2?a1?1．…………10分 当n?2时，Sn?1?Sn?Sn?1???Sn?1??Sn?1?Sn?，
2Sn?1Sn?1?整理，得Sn?Sn?Sn?1Sn?1?Sn?1，，
Sn?1?1Sn2Sn?1S3S4Sn?1S2?1S3?1?????????????从而， S1?1S2?1Sn?1?1S2S3Sn化简，得Sn?1?Sn?1，所以an?1?1．…………14分 综上所述，an?1n?N?*?，
所以??0时，数列?an?是等差数列．…………16分
第Ⅱ卷（选做题，40分）
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换
2 1?? 2 1??54?解：（1） M2＝?? 1 2? ? 1 2? ＝?45? ．…………4分 （2）矩阵M的特征多项式为f(λ)＝?
?λ－2 －1?
?＝(λ－1)(λ－3)．
?－1 λ－2?
令f(λ)＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时，?
?x＋y＝0， 2 1??x??x?
＝，得? ? 1 2??y??y??x＋y＝0．
1??令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为．…………8分
?－1?②当λ＝3时，?
?x－y＝0， 2 1??x?x
＝3??，得? ? 1 2??y??y??x－y＝0．
1
令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为??．
?1?
1??1??因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，．…………10分 ?－1??1?