发布时间 : 星期三 文章27.2.2《相似三角形的性质》导学案更新完毕开始阅读0a377988bed5b9f3f90f1cb0
27.2.2 相似三角形的性质
1.知道相似三角形对应线段(中线、高线、角平分线)的比与相似比之间的关系.
2.知道相似三角形的周长比和面积比与相似比之间的关系.
3.能灵活运用相似三角形的判定和性质解决简单的问题,提高分析、推理能力. 4.重点:相似三角形的性质.
知识点一 相似三角形对应线段(高、角平分线、中线)的比 阅读教材本课时第一页的内容,完成下列问题.
1.如右图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k.
(1)分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AE、A'E'.求AE∶A'E'.
如图,∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',
=,又
∵BE=BC,B'E'=B'C',∴=,∴△ABE∽△A'B'E',∴==k.
(2)分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AF,A'F'.求AF∶A'F'.
如图,∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C',又
∵∠BAF=∠BAC,∠B'A'F'=∠B'A'C',∴∠BAF=∠B'A'F',∴△ABF∽△A'B'F',∴==k.
【归纳总结】相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于 相似
比 .
【讨论】对于上面的问题,△ABC与△A'B'C'的周长比等于多少?如何证明你的结论?
周长比等于k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为
k,∴===k,∴AB=kA'B',BC=kB'C',AC=kA'C',∴==k.
【预习自测】如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应中线之比是 1∶2 ,对应高之比是 1∶2 ,对应角平分线之比是 1∶2 . 知识点二 相似三角形的面积比 两个相似三角形的面积与相似比k有什么关系?请根据教材本课时“图27.2—13”加以证明.
==·
=k2.
【归纳总结】相似三角形的面积比等于 相似比的平方 .
【预习自测】1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF的面积比为 4∶9 .
2.若△ABC∽△DEF,它们的面积比为4∶1,则△ABC与△DEF的相似比为 2∶1 .
互动探究1:已知两个相似三角形对应中线之比为1∶4,那么它们的对应高之比为
A.1∶2 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶5 [变式训练]1.已知△ABC∽△A'B'C',对应角平分线的比是1∶,且BC边上的高是3
,则(C)
B'C'边上的高是 9 .
2.已知△ABC∽△A1B1C1,AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线,BC=6,B1C1=4,AD=4.8,则A1D1的长为 3.2 .
互动探究2:如图,已知DE∥BC,且AD∶BD=1∶2,则△ADE与△ABC的周长比为 .
[变式训练]两个相似三角形的相似比是1∶2,其中较小三角形的周长为6 cm,则较大三角形的周长为 12 cm .
【方法归纳交流】相似三角形的周长比等于 相似比 .
互动探究3:两个相似三角形的相似比为2∶3,面积之差为25 cm2,则这两个三角形的面积分别是 20 cm2和45 cm2 .
[变式训练]1.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且==,则S△ADE∶S四边
形BCED的值为 .
2.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则= .
【方法归纳交流】相似三角形的面积比等于 相似比的平方 .如果两个图形不相似,需要进行转化.
互动探究4:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC的面积.
解:∵∠C=∠QPB,∠B=∠B,∴△BPQ∽△BCA. 又∵=,∴S△BPQ∶S△BCA=1∶5,∴.∵PB=2,∴QP==. =1.
∵AB=5,∴QB=∴△BPQ的面积=×2×1=1,∴S△BCA=5.