发布时间 : 星期四 文章2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）更新完毕开始阅读0a3b48e9b5daa58da0116c175f0e7cd18425188f
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 15． ．
解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=， 可得：=，即，可得离心率为：e=． 16． 4cm3 ．
解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x， 三棱锥的高h===， =3， 则V===，
令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4， 令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2， 则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3． 三、解答题
17．解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=， ∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0，∴sinBsinC=；
（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=， ∵0＜A＜π，∴A=，
∵===2R==2，∴sinBsinC=?===，
∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9， ∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c= ∴周长a+b+c=3+．
18．（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a，则AD=．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：D（），B（），P（0，0，），C（）． ，，．
设平面PBC的一个法向量为， 由，得，取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥AD， 又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，． ∴cos＜＞==．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角， ∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
19．解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974， 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026， 因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592， 所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416； （2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026， 由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程方法合理；
（ⅱ）因为用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值， 且==9.97，s==≈0.212，
所以﹣3=9.97﹣3×0.212=9.334，+3=9.97+3×0.212=10.606，
所以9.22?（﹣3+3）=（9.334，10.606），
因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22， 则剩下的数据估计μ==10.02，
将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008， 所以σ≈0.09．
20．解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上， 又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1）， ∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上． 把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得： ，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆C的方程为=1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA）， ∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1， ∴===﹣1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0， ，x1x2=， 则==
===﹣1，又b≠1，
∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1， 当x=2时，y=﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）．
21．解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， 当a=0时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0， ∴当x∈R，f（x）单调递减，
当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣）， 令f′（x）=0，解得：x=ln，
当f′（x）＞0，解得：x＞ln， 当f′（x）＜0，解得：x＜ln，
∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减，
综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， 当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x， 当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0， ∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，
当x→∞，e2x→+∞，且远远大于ex和x， ∴当x→∞，f（x）→+∞，
∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，
由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数， ∴f（x）min=f（ln）=（）+（a﹣2）×﹣ln＜0， ∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0， 设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0）， 求导g′（t）=+1，由g（1）=0， ∴t=＞1，解得：0＜a＜1， ∴a的取值范围（0，1）． [选修4-4，坐标系与参数方程]
22．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程， 解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d==，φ满足tanφ=，
又d的最大值dmax=，
所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17， 得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17， 即a=﹣16或a=8．
[选修4-5：不等式选讲]
23．解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]．