发布时间 : 星期一 文章《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解更新完毕开始阅读0a40dcbb590216fc700abb68a98271fe900eaf12
（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x??y(0)?y?(0)?1
六、（本题8分）求
??
f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：
cos?t???td??e22?2?0???
?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1?i?的幅角是（ ??2k?,k?0?1,?2,? ）；2.Ln(?1?i)的主值是241．
1?（ln2?i ）；3. 241f(z)?1?z2，
f(7)(0)?（ 0 ）；
z?sinz1f(z)?f(z)?Res[f(z),0]?4． ，（ 0 ） ；5． ，
z2z3Res[f(z),?]?（ 0 ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1----5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）求a,b,c,d使f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，
2222解：因为f(z)解析，由C-R条件
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x共6页第 9 页
2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2）．
?C1dz．其中C是正向圆周z2z(z?1)?2；
解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数f(z)?1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2且位于c内
1?C(z?1)2zdz??C111(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2z11??2?i()?2?izz?1(z?1)231z?0
z?0zedz，其中C是正向圆周z?2； （3）．计算?C(1?z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?2内，由留数定理
?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----（5分）
12z1?z??13zzeze1111112????z(1?????)(1??2?3??) 231(1?z)z2!z3!zzzz1?z??(z2?z?111111???)(1?????) 2232!3!z4!zzzz811c?1??(1?1??)??
32!3!共6页第 10 页
?z?28f(z)dz??2?i
3(z2?1)(z?2)3（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有
(sin?z)3极点，请指出它的级.
f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?
3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，
z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点，
z?0,2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； ?为f(z)的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；
z2(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
解：（1）当0?z?1?1
f(z)?111?[]? 2z(z?1)(z?1)(1?(z?1)??1n]??[?(z?1)]???n(z?1)n?1 而[(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分
n?0?（2）当0?z?1
11f(z)?2=
z(z?1)z2??(?1)n?0?nzn
??(?1)zn?2 -----10分
n?0共6页第 11 页
（3）当1?z??
f(z)?11?z2(z?1)z3(1?1)
z1n?n1(?)??(?1)n?3 --------14分 ?zzn?0n?0?1f(z)?3z五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
?y??(x)?2y?(x)?3y(x)?e?x?
??y(0)?0,y(0)?1解：对y(x)的Laplace
变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有
1 …（5分） s?1s2L(s)?1?2sL(s)?3L(s)?整理得
L(s)?s?2 …（7分）
(s?1)(s?1)(s?4)131y(x)??e?x?ex?e?3x …（10分）
488
得分 六、（本题6分）求
?1t?1f(t)??的傅立叶变换，并由此证明：
t?10???t?1??2?sin?cos?td????4t?1? ?0?0t?1?解：F(?)??????e?i?tf(t)dt
F(?)??e?i?tdt -------2分
?11共6页第 12 页
e??i??i?t1?i?1e?i??ei?? ? 2sin?? ----- 4分
1f(t)?2???????ei?tF(?)d? ----------- 5分
?d?
??11????ei?tsin????2??sin????(cos?t?isin?t)d?
???????sin?cos?t0?d? ? ??i??sin?sin?t???d?
?0sin?cos?t?d???2f??t?12?(t)=??4t?1 --------------6分 ?0t?1?共6页第 13 页