发布时间 : 星期四 文章2016-2017学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展1.2 复更新完毕开始阅读0a648aae3868011ca300a6c30c2259010202f3a3
1.1 数的概念的扩展 1.2 复数的有关概念
明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示．
1．复数的有关概念 (1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位．a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi (a，b∈R)． (2)复数集
①定义：复数的全体组叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类及包含关系
?实数
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)?虚数
?
(2)集合表示：
b＝b??纯虚数a＝?
?非纯虚数a?
3．两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.
4．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一,对应,复平面内的点Z(a，b)； 对应→
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一,――→平面向量OZ＝(a，b)． 5．复数的模
→→
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝a＋b.
2
2
[情境导学]
为解决方程x＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念
思考1 为解决方程x＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x＋1＝0有解，同时得到一些新数．
思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i＝－1.
(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i＜0与实数集中a≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i＝－1，那么i
2
4n＋1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＝i，i
4n＋2
＝－1，i
4n＋3
＝－i，i＝1.
4n思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？
答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？
答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫作虚数；当a＝0且b≠0时，叫作纯虚数． 思考5 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？
答 不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部．
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
1
①2＋3i；②－3＋i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.
2
1
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为2，
2虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯
虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部．
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．
解 (1)存在且有无数个，如－2＋i等；(2)存在且不唯一，如1－2i等；(3)存在且唯一，即－2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
m2＋m－62
例2 当实数m为何值时，复数z＝＋(m－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
m?m－2m＝0?解 (1)当?
??m≠0??m－2m≠0，
(2)当?
?m≠0?
2
2
，即m＝2时，复数z是实数；
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
m＋m－6??＝0
m(3)当???m2－2m≠0
2
，
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 实数m为何值时，复数z＝纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m＋2m－3＝0，且－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m＋2m－3≠0，且－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足
2
2
mm＋
m－1
＋(m＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)
2
mm＋
m－1
有意义即m－1≠0，解得m＝
mm＋m－1
有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠
mm＋
m－1
＝0，m－1≠0，
且m＋2m－3≠0， 解得m＝0或m＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？
答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小． 思考2 两个复数相等的充要条件是什么？
答 复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
??2x－1＝－y，
解 由复数相等的充要条件得?
?1＝y－3.?
2
3??x＝－，2解得???y＝4.
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
x2－x－62
跟踪训练 3 已知＝(x－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
x＋1解 由复数相等的定义得
x－x－6??＝0.x＋1???x2－2x－3＝0.
2
解得：x＝3，
所以x＝3为所求． 探究点三 复数的几何意义
思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系．
小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考2 下列命题是否正确？
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；